Dzień dobry,
mam problem z następującym zadaniem:
Znajdź wszystkie rozwiązania równania i udowodnij, że nie ma ich więcej.
\(\displaystyle{ 7 ^{x} - 3^{y} = 4}\)
Chodzi o rozwiązania należące do zbioru liczb całkowitych.
Bardzo proszę o pomoc. Z góry dziękuję.
Równanie z dwiema niewiadomymi
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Równanie z dwiema niewiadomymi
Premislav chodzi oczywiście o rozwiązania w liczbach naturalnych, bo chyba łatwo widać, ze wystarczy szukać rozwiązań w liczbach naturalnych pierwotnego równania.
Oczywiście \(\displaystyle{ x=y=1}\) jest rozwiązaniem pierwotnego równania. Następnie proponuję redukcję do równania z mojego postu wyżej, żeby wyeliminować przypadek \(\displaystyle{ y\geq 2}\).
Obstawiam, że moje równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych, ale nie wiem jak to pokazać.
Oczywiście \(\displaystyle{ x=y=1}\) jest rozwiązaniem pierwotnego równania. Następnie proponuję redukcję do równania z mojego postu wyżej, żeby wyeliminować przypadek \(\displaystyle{ y\geq 2}\).
Obstawiam, że moje równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych, ale nie wiem jak to pokazać.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Równanie z dwiema niewiadomymi
Slup, no tak, słusznie, brak rozwiązań pierwotnego równania w liczbach całkowitych niebędących naturalnymi jest trywialny. Przepraszam za ten spam, zbyt pochopnie to napisałem.
Równanie z dwiema niewiadomymi
\(\displaystyle{ 4=7-3}\), czyli równanie można przekształcić do postaci \(\displaystyle{ 7(7^{x-1}-1)=3(3^{y-1}-1)}\)
A dalej w sumie nie wiem, ale pewnie da się wykazać, że rozwiązań poza \(\displaystyle{ (1,1)}\) (\(\displaystyle{ 0=0}\)) nie ma
A dalej w sumie nie wiem, ale pewnie da się wykazać, że rozwiązań poza \(\displaystyle{ (1,1)}\) (\(\displaystyle{ 0=0}\)) nie ma
Równanie z dwiema niewiadomymi
Już wiem jak to dalej pociągnąć:
Możemy sobie założyć \(\displaystyle{ x,y>1}\), resztę łatwo sprawdzić - jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ (1,1)}\).
By istniało rozwiązanie dla \(\displaystyle{ x,y>1}\) musi być \(\displaystyle{ 7\mid 3^{y-1}-1}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \mathrm{ord}_7(3)=6}\), musi być \(\displaystyle{ 6\mid y-1}\), lecz \(\displaystyle{ 13\mid 3^6-1\mid 3^{y-1}-1}\), więc musi być \(\displaystyle{ 13\mid 7^{x-1}-1}\). \(\displaystyle{ \mathrm{ord}_{13}(7)=12}\), więc potrzebujemy \(\displaystyle{ 12\mid x-1}\), lecz \(\displaystyle{ 9\mid 7^{12}-1\mid 7^{x-1}-1}\), czyli musi być \(\displaystyle{ 9\mid 3(3^{y-1}-1)}\), sprzeczność
Możemy sobie założyć \(\displaystyle{ x,y>1}\), resztę łatwo sprawdzić - jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ (1,1)}\).
By istniało rozwiązanie dla \(\displaystyle{ x,y>1}\) musi być \(\displaystyle{ 7\mid 3^{y-1}-1}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \mathrm{ord}_7(3)=6}\), musi być \(\displaystyle{ 6\mid y-1}\), lecz \(\displaystyle{ 13\mid 3^6-1\mid 3^{y-1}-1}\), więc musi być \(\displaystyle{ 13\mid 7^{x-1}-1}\). \(\displaystyle{ \mathrm{ord}_{13}(7)=12}\), więc potrzebujemy \(\displaystyle{ 12\mid x-1}\), lecz \(\displaystyle{ 9\mid 7^{12}-1\mid 7^{x-1}-1}\), czyli musi być \(\displaystyle{ 9\mid 3(3^{y-1}-1)}\), sprzeczność