Wartości NWD

[mol_ksiazkowy]

Niech liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą takie, że
\(\displaystyle{ (a, p^2) = p}\) oraz \(\displaystyle{ (b, p^3)= p^2}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.
Ile to jest \(\displaystyle{ (a^2b^2, p^4)}\) oraz \(\displaystyle{ (a^2+b^2, p^4)}\) ?

Ukryta treść:    

Uwagi: \(\displaystyle{ (a, b)}\) to największy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

[dec1]

Skoro \(\displaystyle{ \mathrm{NWD}(a,p^2)=p}\), to \(\displaystyle{ p\mid a}\), ale \(\displaystyle{ p^2\nmid a}\)

Skoro \(\displaystyle{ \mathrm{NWD}(b,p^3)=p^2}\), to \(\displaystyle{ p^2\mid b}\), ale \(\displaystyle{ p^3\nmid b}\)

Stąd \(\displaystyle{ p^2\mid a^2}\) i \(\displaystyle{ p^4\mid b^2}\), czyli \(\displaystyle{ p^6\mid a^2b^2}\), więc \(\displaystyle{ \mathrm{NWD}(a^2b^2,p^4)=p^4}\)

\(\displaystyle{ p^2\mid a^2+b^2}\), więc \(\displaystyle{ \mathrm{NWD}(a^2+b^2,p^4)=p^2}\)

Coś łatwo poszło, czyżbym miał gdzieś błąd?

[bakala12]

Musisz jeszcze pokazać, że żaden większy wykładnik \(\displaystyle{ p}\) nie dzieli tych liczb. Dla pierwszej to oczywiste, dla drugiej wcale nie