Najmniejszy wspolny dzielnik

[Krzytbg]

Witam,potrzebuje pomocy w rozwiazaniu zadania

Mam liczbe \(\displaystyle{ 2^{81}+1}\) i potrzebuje znalezc najmniejszy dzielnik tej liczby. Wiem ze ostatnia cyfra to 3,ale co dalej z tym zrobic to nie mam pojecia,jesli moglbym prosic o jakis schemat jak to mam zrobic bede wdzieczny

[Medea 2]

Zapomniałeś o dolarkach wokół wyrażenia matematycznego. Zauważ, że

\(\displaystyle{ a^9 + b^9 = (a + b) (a^2 - a b + b^2) (a^6 - a^3 b^3 + b^6)}\),

wystarczy wstawić \(\displaystyle{ a = 2^9}\) i \(\displaystyle{ b = 1}\), co daje rozkład \(\displaystyle{ 513 \cdot 261633 \cdot 18014398375264257}\). Teraz tylko spostrzeż, że wszystkie czynniki są nieparzyste (niepodzielne przez dwa) i \(\displaystyle{ 513 = 3^3 \cdot 19}\).

[Krzytbg]

A czy jest jakas inna metoda? Bo jak przyjdzie egzamin to \(\displaystyle{ 2^{54}}\) liczyc bez kalkulatora troche ciezko.

[a4karo]

Najmniejszym dodatnim dziennikiem tej liczby jest jedynka.

[Krzytbg]

Ale chodzi o wiekszy niz 1...

[a4karo]

Wiem, ale gdybym tak sformułował zadanie, to musiałbym uznać taka odpowiedz...
A \(\displaystyle{ 54=3\cdot 18}\), wiec wzór na sumę szescianow też da ci rozkład.

[Krzytbg]

\(\displaystyle{ 513 = 3^3 \cdot 19}\).

Dlaczego \(\displaystyle{ 3^3 \cdot 19}\) ? jakby bylo podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) to \(\displaystyle{ 2^2}\)?

[bakala12]

Nieeeee...
\(\displaystyle{ 513 = 3^{3} \cdot 19 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 19}\)
Jak się pomnoży to można sprawdzić, że to prawda. To czysty przypadek, że jest \(\displaystyle{ 3^{3}}\), żadnych analogii z \(\displaystyle{ 2^{2}}\) proszę nie wyciągać, bo to jakieś cuda wianki wychodzą

[kinia7]

Zauważ, że
\(\displaystyle{ a^9 + b^9 = (a + b) (a^2 - a b + b^2) (a^6 - a^3 b^3 + b^6)}\)

Zauważ, że
\(\displaystyle{ a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}+\ ...\ )\ \Rightarrow \ {\blue2^{81}+1}=2^{81}+1^{81}=(2+1)(2^{80}\ ...\ )=\blue{3\cdot}}\)coś tam