Cześć mam taki układ równań i zastanawiam się jak go rozwiązać.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y\equiv 4 \pmod{11} \\x+y\equiv 9 \pmod{11} \end{cases}}\)
Próbuję robić tak :
-dodaję pierwsze równanie do drugiego i otrzymuję:
\(\displaystyle{ 2x\equiv 13 \pmod{11}}\)
Odwrotność \(\displaystyle{ 2 \pmod{11} = 6}\)
A więc mnożę obie strony przez 6 i dostaję:
\(\displaystyle{ 12x\equiv 78\pmod{11}}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ x\equiv 1 \pmod{11}}\)
Czy do tego momentu jest dobrze? I co dalej? Podstawiając dalej pod równania wychodzą mi jakieś głupoty, że \(\displaystyle{ y = 8}\)
I jak to w ogóle ma być ostatecznie? Tzn x przystaje czy jest równy, bo przyznam szczerze że mam już lekki mętlik w głowie i nie bardzo rozumiem jak to zadanie poprowadzić.
Układ równań z modulo
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Układ równań z modulo
Na razie jest dobrze, faktycznie wychodzi \(\displaystyle{ x\equiv 1\pmod{11}}\). To teraz tak:
z kolei odejmując stronami pierwszą kongruencję od drugiej, dostajesz
\(\displaystyle{ 2y\equiv 5\pmod{11}}\), stąd po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 6}\) i redukcji mamy
\(\displaystyle{ y\equiv 8\pmod{11}}\). Ostateczne rozwiązanie jest takie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1\pmod{11} \\ y \equiv 8\pmod{11} \end{cases}}\),
czyli innymi słowy \(\displaystyle{ x=11t+1, y=11s+8, t, s \in \ZZ}\)
Dlaczego możemy tak sobie odjąć stronami kongruencje?
\(\displaystyle{ x\equiv a\pmod{b}}\) oznacza, że istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ s}\), iż
\(\displaystyle{ x=bs+a}\). Analogicznie \(\displaystyle{ y\equiv c\pmod{b}}\) oznacza, ze istnieje taka liczba całkowita
\(\displaystyle{ t}\), iż \(\displaystyle{ y=bt+c}\). Zatem wówczas zachodzi
\(\displaystyle{ x-y=bs+a-(bt+c)=b(s-t)+a-c}\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ s, t}\), a stąd
\(\displaystyle{ x-y\equiv a-c \pmod{b}}\).
z kolei odejmując stronami pierwszą kongruencję od drugiej, dostajesz
\(\displaystyle{ 2y\equiv 5\pmod{11}}\), stąd po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 6}\) i redukcji mamy
\(\displaystyle{ y\equiv 8\pmod{11}}\). Ostateczne rozwiązanie jest takie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1\pmod{11} \\ y \equiv 8\pmod{11} \end{cases}}\),
czyli innymi słowy \(\displaystyle{ x=11t+1, y=11s+8, t, s \in \ZZ}\)
Dlaczego możemy tak sobie odjąć stronami kongruencje?
\(\displaystyle{ x\equiv a\pmod{b}}\) oznacza, że istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ s}\), iż
\(\displaystyle{ x=bs+a}\). Analogicznie \(\displaystyle{ y\equiv c\pmod{b}}\) oznacza, ze istnieje taka liczba całkowita
\(\displaystyle{ t}\), iż \(\displaystyle{ y=bt+c}\). Zatem wówczas zachodzi
\(\displaystyle{ x-y=bs+a-(bt+c)=b(s-t)+a-c}\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ s, t}\), a stąd
\(\displaystyle{ x-y\equiv a-c \pmod{b}}\).