Dowód abelowości grupy

logix1 · Post autor: **logix1** » 13 cze 2016, o 21:38

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x^2=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in G}\) to \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.

Slup · Post autor: **Slup** » 13 cze 2016, o 21:50

Klasyka.
Wskazówka: Napisz warunek przemienności dla dwóch elementów \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y\in G}\) i postaraj się go przekształcić, przerzucając wszystkie elementy na jedną stronę.

logix1 · Post autor: **logix1** » 13 cze 2016, o 22:03

Czyli poprostu \(\displaystyle{ 1=y^{-1}x^{-1}yx}\) mogę zamienić miejscami i to jest wystarczajacy dowód że inaczej 1 nie może wyjść?

Slup · Post autor: **Slup** » 13 cze 2016, o 22:05

Nierozumiem, co masz na myśli. Co to jest \(\displaystyle{ x^{-1}}\) i \(\displaystyle{ y^{-1}}\)? Teraz musisz wykorzystać warunek w zadaniu. Wiesz, że \(\displaystyle{ x^2=y^2=1}\).

logix1 · Post autor: **logix1** » 13 cze 2016, o 22:33

No bo jeśli z warunku \(\displaystyle{ xy=yx}\) przerzuci się wszystko na druga strone, to wychodzi ta rowność którą napisałam. A przeciez nie można zalożyć że jest przemienne dlatego wychodzi tak jak napisałam. \(\displaystyle{ x^{-1}x=1}\)

Slup · Post autor: **Slup** » 13 cze 2016, o 23:52

Rzeczywiście wychodzi ta równość, którą napisałaś, ale to jeszcze zupełnie niczego nie dowodzi.
Mamy:
\(\displaystyle{ x^2=y^2=1}\)
czyli \(\displaystyle{ x=x^{-1}}\) oraz \(\displaystyle{ y=y^{-1}}\). Dalej:
\(\displaystyle{ x^{-1}y^{-1}xy=xyxy=(xy)(xy)=(xy)^2=1}\)