Reszta z dzielenia

[dosia290]

Taka treść zadania:
Jeśli podzielimy studentów na równo 7 grup dziekańskich, 4 studentów nie będzie należało do żadnej grupy. Jeśli podzielimy studentów na 5 grup dziekańskich, 2 studentów nie będzie należało do żadnej grupy. Jaka jest minimalna liczba studentów?

Doszedłem to postaci, że studentów musi być 12k + 6, gdzie k \(\displaystyle{ \in}\) N

I łopatologicznie, tj. podstawiając za k kolejne liczby naturalne wyszło mi, że minimalna liczba studentów może wynosić 102.

Jest jednak bardziej matematyczny sposób, dla którego uzyskam wynik 102 lub, że k=8 ?

[kerajs]

A może wystarczy \(\displaystyle{ 32}\) studentów?

[dosia290]

Faktycznie, jak do tego doszedłeś?:)

[Jarosz23]

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) z r. \(\displaystyle{ 4}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) jest podzielne na \(\displaystyle{ 5}\) z resztą \(\displaystyle{ 2}\).

Czyli bierzesz np. \(\displaystyle{ 7k+4}\) i podstawiasz liczby całkowite od 1 w górę i sprawdzasz czy dla wyniku z tego będzie takie k całkowite dla \(\displaystyle{ 5k+2}\).

np.
\(\displaystyle{ k=1 \rightarrow 7k+1=11}\)
\(\displaystyle{ 5k+2 = 11 \rightarrow k= \frac{9}{5}}\)

I tak do skutku.

[Chewbacca97]

Ewentualnie rozwiązać układ kongruencji:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 4 \pmod{7} \\ x \equiv 2 \pmod{5} \end{cases} \\ \begin{cases} 5x \equiv 20 \pmod{35} \\ 7x \equiv 14 \pmod{35} \end{cases} \\ \begin{cases} 20x \equiv 80 \equiv 10 \pmod{35} \\ 21x \equiv 42 \equiv 7 \pmod{35} \end{cases} \\ \\ 21x - 20x \equiv 7 - 10 = -3 \equiv 32 \pmod{35}}\)

Czyli rozwiązania są postaci \(\displaystyle{ 35k + 32}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\). Ostatecznie minimalna liczba studentów to \(\displaystyle{ 32}\).