NWD dwóch wielomianów

[foxbuur]

Witam.
Jak znaleźć NWD dla tych dwóch wielomianów \(\displaystyle{ x^4-2x^3 +x+1}\) oraz \(\displaystyle{ x^3-x+1}\)?
Pozdrawiam

[dec1]

Algorytm Euklidesa działa też dla wielomianów

[foxbuur]

\(\displaystyle{ f(x)=x^4-2x^3 +x+1}\)
\(\displaystyle{ g(x)=x^3-x+1}\)

Dzielę wielomian \(\displaystyle{ f(x)}\) przez \(\displaystyle{ g(x)}\):
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^4-2x^3 +x+1) : (x^3-x+1) = x-2 \\
\underline{-x^4 + x^2-x} & & \\
\qquad -2x^3 + x^2 +1 & & \\
\qquad \ \ \underline{2x^3 - 2x+2} & &\\
\qquad \qquad \qquad x^2 - 2x + 3 & &
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ r _{1}(x) = x^2 - 2x + 3}\)
czyli \(\displaystyle{ f(x)=(x-2)*g(x) + r _{1}(x)}\)

Dzielę wielomian \(\displaystyle{ g(x)}\) przez resztę \(\displaystyle{ r _{1}(x)}\)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3-x+1) : (x^2 - 2x + 3) = x+2 \\
\underline{-x^3 + 2x^2-3x} & & \\
\qquad 2x^2 - 4x +1 & & \\
\qquad \ \ \underline{-2x^2 +4x-6} & &\\
\qquad \qquad \qquad -5 & &
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ r _{2}(x) = -5}\)
czyli \(\displaystyle{ g(x)=(x+2)*r _{1}(x) + r _{2}(x)}\)

Czyli \(\displaystyle{ nwd(f(x),g(x)) = 1}\), bo \(\displaystyle{ x^2-2x+3}\) nie podzieli się bez reszty przez (-5).

Czy rozwiązałem to poprawnie?