Zbadaj rząd funkcji

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Zbadaj rząd funkcji

Post autor: max123321 »

Zbadaj rząd funkcji
\(\displaystyle{ g\left( n\right)=2 ^{2\log _{2}\left( 3n\right) }+\log n+5n}\)

Próbuję tak:
\(\displaystyle{ g\left( n\right)=9n ^{2}+\log n+5n}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ n ^{2} \le 9n ^{2}+\log n+5n \le 15n ^{2}}\)
Lewa nierówność jest oczywista, a prawą można udowodnić w ten sposób:
\(\displaystyle{ 9n ^{2} \le 9n ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 5n \le 5n ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \le 10 \Rightarrow n \le 10 ^{n ^{2} } \Rightarrow \log n \le n ^{2}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ 9n ^{2}+\log n+5n \le 9n ^{2}+n ^{2}+5n ^{2}=15n ^{2}}\)
Zatem \(\displaystyle{ g\left( n\right)}\) jest rzędu \(\displaystyle{ n ^{2}}\).
Zgadza się?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Zbadaj rząd funkcji

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \le 10 \Rightarrow n \le 10 ^{n ^{2} } \Rightarrow \log n \le n ^{2}}\)
Na początku powinno być \(\displaystyle{ \sqrt[n^{2}]{n}}\).-- 4 cze 2016, o 15:26 --Poza tym warto dopisać jakiś komentarz, np. że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n^{2}]{n}=1}\), więc dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) ta nierówność jest prawdziwa.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Zbadaj rząd funkcji

Post autor: max123321 »

Nie no niekoniecznie.
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \le 10 \Rightarrow n \le 10 ^{n } \len \le 10 ^{n ^{2} }}\), a z tą granicą i komentarzem masz rację, ale fakt \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1}\) jest powszechnie znany jak mniemam.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Zbadaj rząd funkcji

Post autor: Premislav »

Jest znany, ale trzeba napisać, że z niego korzystasz.
ODPOWIEDZ