1. Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ p>2}\) jest taką liczbą pierwszą, że \(\displaystyle{ p|s^2+2t^2}\) dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych \(\displaystyle{ s, t}\), to \(\displaystyle{ \left( -2\right) Rp}\), więc, że \(\displaystyle{ p=x^2+2y^2}\) dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych \(\displaystyle{ x, y}\).
2. Udowodnić, że przestawienie liczby pierwszej postaci \(\displaystyle{ 8k+1}\) lub \(\displaystyle{ 8k+3}\) jako sumy kwadratu i podwojonego kwadratu jest (z dokładnością do znaku) jednoznaczne.
3. Udowodnić, że liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ x^2+3y^2}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p\equiv 1, 7 \pmod{12}}\)
Bardzo proszę o pomoc!
Liczby pierwsze, suma kwadratów
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 31 maja 2016, o 17:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Szczecin
Liczby pierwsze, suma kwadratów
Ostatnio zmieniony 1 cze 2016, o 18:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie używaj Caps Locka. Poprawa wiadomości.
Powód: Nie używaj Caps Locka. Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Liczby pierwsze, suma kwadratów
Czy mogłabyś napisać to zdanie w sposób zrozumiały?teorialiczb94 pisze:1. Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ p>2}\) jest taką liczbą pierwszą, że \(\displaystyle{ p|s^2+2t^2}\) dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych \(\displaystyle{ s, t}\), to \(\displaystyle{ \left( -2\right)}\) Rp, więc, że \(\displaystyle{ p=x^2+2y^2}\) dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych \(\displaystyle{ x, y}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 31 maja 2016, o 17:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Szczecin
Liczby pierwsze, suma kwadratów
Nie potrafię w sposób bardziej zrozumiały, zadanie pochodzi z książki "Matematyka olimpijska. Algebra i teoria liczb." autor A. Neugebauer
Jedyne co mogę dodać, to że: \(\displaystyle{ \left( -2\right) Rp \Leftrightarrow p\equiv 1, 3 \pmod{8}}\), czyli \(\displaystyle{ -2}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p \neq 2}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p}\) jest wyrazem jednego z ciągów arytmetycznych \(\displaystyle{ \left( 8t+1\right), \left( 8t+3\right)}\)
Jedyne co mogę dodać, to że: \(\displaystyle{ \left( -2\right) Rp \Leftrightarrow p\equiv 1, 3 \pmod{8}}\), czyli \(\displaystyle{ -2}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p \neq 2}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p}\) jest wyrazem jednego z ciągów arytmetycznych \(\displaystyle{ \left( 8t+1\right), \left( 8t+3\right)}\)
Ostatnio zmieniony 1 cze 2016, o 18:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Liczby pierwsze, suma kwadratów
Co wiesz na temat algebry/ algebraicznej teorii liczb? Wykorzystam tutaj jej sporo.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p}\) jest postaci \(\displaystyle{ 8k+1}\) lub \(\displaystyle{ 8k+3}\). Skoro \(\displaystyle{ -2}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p}\), to równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ x^2+2=0}\) ma rozwiązanie w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p}\)(ciało reszt modulo \(\displaystyle{ p}\)). Napiszmy:
\(\displaystyle{ x^2+2=(x-\alpha)(x-\beta)}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta\in \mathbb{F}_p[x]}\), a rozkład jest w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p[x]}\). Jeżeli:
\(\displaystyle{ \alpha=\beta}\)
to:
\(\displaystyle{ x^2+2=(x-\alpha)^2}\)
i wówczas pochodna(w sensie formalnym):
\(\displaystyle{ 2x=2(x-\alpha)}\)
Zatem \(\displaystyle{ \alpha=0}\). To się nie może zdarzyć, bo wtedy \(\displaystyle{ 2=0}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p}\) czyli \(\displaystyle{ p|2}\), a \(\displaystyle{ p}\) jest różne od \(\displaystyle{ 2}\). Zatem \(\displaystyle{ \alpha\neq \beta}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \mathbb{F}_p[x]/(x^2+2)\cong \mathbb{F}_p[x]/(x-\alpha)(x-\beta)\cong \mathbb{F}_p\times \mathbb{F}_p}\)
Rozważmy teraz pierścień \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]}\) jest to dziedzina z jednoznacznością rozkładu. Mamy:
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]/(p)\cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+2,p)\cong \mathbb{F}_p[x]/(x^2+2)\cong \mathbb{F}_p\times \mathbb{F}_p}\)
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ p}\) rozkłada się w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]}\) na iloczyn dwóch elementów pierwszych jednoznacznie z dokładnością do elementów odwracalnych.
Teraz wyznaczymy elementy odwracalne w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathb{Z}[i\sqrt{2}]}\). Niech \(\displaystyle{ u=(e+i\sqrt{2}f)\in \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]}\) będzie elementem odwracalnym. Zauważamy, że element odwracalny ma normę równą \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Stąd:
\(\displaystyle{ e^2+2f^2=1,-1}\)
To daje \(\displaystyle{ e=1,-1}\) i \(\displaystyle{ f=0}\). Czyli \(\displaystyle{ u=1,-1}\). Stąd jedyne elementy odwracalne w tym pierścieniu to \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\)
Wracamy teraz do \(\displaystyle{ p}\). Można napisać, że:
\(\displaystyle{ p=(a+i\sqrt{2}b)(c+i\sqrt{2}d)}\)
gdzie \(\displaystyle{ (a+i\sqrt{2}b)}\), \(\displaystyle{ (c+i\sqrt{2}d)}\) są elementami pierwszymi naszego pierścienia. Weźmy teraz automorfizm tego pierścienia \(\displaystyle{ \phi}\) zadany przez:
\(\displaystyle{ i\sqrt{2}\mapsto -i\sqrt{2}}\)
Teraz uwaga:
\(\displaystyle{ (a+i\sqrt{2}b)(c+i\sqrt{2}d)=p=\phi(p)=(a-i\sqrt{2}b)(c-i\sqrt{2}d)}\)
Z jednoznaczności rozkładu wynika, że z dokładnością do jakościowo tych samych sytuacji mamy takie przypadki:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=a-i\sqrt{2}b,c+i\sqrt{2}d=c-i\sqrt{2}d}\)
albo:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=-(a-i\sqrt{2}b), c+i\sqrt{2}d=c-i\sqrt{2}d}\)
albo:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=(-1)(c-i\sqrt{2}d)}\)
albo:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=(c-i\sqrt{2}d)}\)
Pierwszy przypadek nie może zajść, bo wtedy \(\displaystyle{ b=d=0}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ p}\) zapisuje się jako iloczyn dwóch liczb całkowitych. W drugim przypadku \(\displaystyle{ a=d=0}\) i wtedy \(\displaystyle{ p\in \RR i}\) nie jest liczbą rzeczywistą. W trzecim przypadku:
\(\displaystyle{ p=(a+i\sqrt{2}b)(c+i\sqrt{2}d)=(-1)(c-i\sqrt{2}d)(c+i\sqrt{2}d)=(-1)(c^2+2d^2)}\)
i \(\displaystyle{ p<0}\), co też nie może zachodzić.
Zatem jedynie czwarty przypadek może zajść i wtedy:
\(\displaystyle{ p=(a+i\sqrt{2}b)(c+i\sqrt{2}d)=(c-i\sqrt{2}d)(c+i\sqrt{2}d)=c^2+2d^2}\)
oraz zapis ten jest jednoznaczny, bo:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=(c-i\sqrt{2}d)}\)
i
\(\displaystyle{ c+i\sqrt{2}d}\)
są jednoznaczne z dokładnością do elementu odwracalnego w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]}\), którym są jak pokazaliśmy \(\displaystyle{ 1, -1}\).
Daje to bezpośrednie rozwiązanie Twojego podpunktu \(\displaystyle{ 2)}\). \(\displaystyle{ 1)}\) sprowadza sie do pokazania, że \(\displaystyle{ p=8k+1}\) lub \(\displaystyle{ p=8k+3}\) i użycia argumentu powyżej. Analogicznie jak powyżej powinno dać się zrobić \(\displaystyle{ 3)}\), o ile tylko znane jest kryterium, kiedy \(\displaystyle{ -3}\) jest kwadratem modulo \(\displaystyle{ p}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ p}\) jest postaci \(\displaystyle{ 8k+1}\) lub \(\displaystyle{ 8k+3}\). Skoro \(\displaystyle{ -2}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p}\), to równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ x^2+2=0}\) ma rozwiązanie w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p}\)(ciało reszt modulo \(\displaystyle{ p}\)). Napiszmy:
\(\displaystyle{ x^2+2=(x-\alpha)(x-\beta)}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta\in \mathbb{F}_p[x]}\), a rozkład jest w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p[x]}\). Jeżeli:
\(\displaystyle{ \alpha=\beta}\)
to:
\(\displaystyle{ x^2+2=(x-\alpha)^2}\)
i wówczas pochodna(w sensie formalnym):
\(\displaystyle{ 2x=2(x-\alpha)}\)
Zatem \(\displaystyle{ \alpha=0}\). To się nie może zdarzyć, bo wtedy \(\displaystyle{ 2=0}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p}\) czyli \(\displaystyle{ p|2}\), a \(\displaystyle{ p}\) jest różne od \(\displaystyle{ 2}\). Zatem \(\displaystyle{ \alpha\neq \beta}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \mathbb{F}_p[x]/(x^2+2)\cong \mathbb{F}_p[x]/(x-\alpha)(x-\beta)\cong \mathbb{F}_p\times \mathbb{F}_p}\)
Rozważmy teraz pierścień \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]}\) jest to dziedzina z jednoznacznością rozkładu. Mamy:
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]/(p)\cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+2,p)\cong \mathbb{F}_p[x]/(x^2+2)\cong \mathbb{F}_p\times \mathbb{F}_p}\)
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ p}\) rozkłada się w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]}\) na iloczyn dwóch elementów pierwszych jednoznacznie z dokładnością do elementów odwracalnych.
Teraz wyznaczymy elementy odwracalne w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathb{Z}[i\sqrt{2}]}\). Niech \(\displaystyle{ u=(e+i\sqrt{2}f)\in \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]}\) będzie elementem odwracalnym. Zauważamy, że element odwracalny ma normę równą \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Stąd:
\(\displaystyle{ e^2+2f^2=1,-1}\)
To daje \(\displaystyle{ e=1,-1}\) i \(\displaystyle{ f=0}\). Czyli \(\displaystyle{ u=1,-1}\). Stąd jedyne elementy odwracalne w tym pierścieniu to \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\)
Wracamy teraz do \(\displaystyle{ p}\). Można napisać, że:
\(\displaystyle{ p=(a+i\sqrt{2}b)(c+i\sqrt{2}d)}\)
gdzie \(\displaystyle{ (a+i\sqrt{2}b)}\), \(\displaystyle{ (c+i\sqrt{2}d)}\) są elementami pierwszymi naszego pierścienia. Weźmy teraz automorfizm tego pierścienia \(\displaystyle{ \phi}\) zadany przez:
\(\displaystyle{ i\sqrt{2}\mapsto -i\sqrt{2}}\)
Teraz uwaga:
\(\displaystyle{ (a+i\sqrt{2}b)(c+i\sqrt{2}d)=p=\phi(p)=(a-i\sqrt{2}b)(c-i\sqrt{2}d)}\)
Z jednoznaczności rozkładu wynika, że z dokładnością do jakościowo tych samych sytuacji mamy takie przypadki:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=a-i\sqrt{2}b,c+i\sqrt{2}d=c-i\sqrt{2}d}\)
albo:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=-(a-i\sqrt{2}b), c+i\sqrt{2}d=c-i\sqrt{2}d}\)
albo:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=(-1)(c-i\sqrt{2}d)}\)
albo:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=(c-i\sqrt{2}d)}\)
Pierwszy przypadek nie może zajść, bo wtedy \(\displaystyle{ b=d=0}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ p}\) zapisuje się jako iloczyn dwóch liczb całkowitych. W drugim przypadku \(\displaystyle{ a=d=0}\) i wtedy \(\displaystyle{ p\in \RR i}\) nie jest liczbą rzeczywistą. W trzecim przypadku:
\(\displaystyle{ p=(a+i\sqrt{2}b)(c+i\sqrt{2}d)=(-1)(c-i\sqrt{2}d)(c+i\sqrt{2}d)=(-1)(c^2+2d^2)}\)
i \(\displaystyle{ p<0}\), co też nie może zachodzić.
Zatem jedynie czwarty przypadek może zajść i wtedy:
\(\displaystyle{ p=(a+i\sqrt{2}b)(c+i\sqrt{2}d)=(c-i\sqrt{2}d)(c+i\sqrt{2}d)=c^2+2d^2}\)
oraz zapis ten jest jednoznaczny, bo:
\(\displaystyle{ a+i\sqrt{2}b=(c-i\sqrt{2}d)}\)
i
\(\displaystyle{ c+i\sqrt{2}d}\)
są jednoznaczne z dokładnością do elementu odwracalnego w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]}\), którym są jak pokazaliśmy \(\displaystyle{ 1, -1}\).
Daje to bezpośrednie rozwiązanie Twojego podpunktu \(\displaystyle{ 2)}\). \(\displaystyle{ 1)}\) sprowadza sie do pokazania, że \(\displaystyle{ p=8k+1}\) lub \(\displaystyle{ p=8k+3}\) i użycia argumentu powyżej. Analogicznie jak powyżej powinno dać się zrobić \(\displaystyle{ 3)}\), o ile tylko znane jest kryterium, kiedy \(\displaystyle{ -3}\) jest kwadratem modulo \(\displaystyle{ p}\).