Zadania z Kwadratu OMG

[Ruahyin]

Witam. Zaczynam przygotowania do OMG i już dwa pierwsze zadanka z pierwszego numeru Kwadrat mnie pokonały. Dodam, że szukałam rozwiązań, ale albo źle szukam albo wujek google ich nie posiada. Prosiłabym o jakieś podpowiedzi.

1. Udowodnij, że dla każdej nieujemnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\), liczbę \(\displaystyle{ (3-2 \sqrt{2}) ^{n}}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a_{n}+b_{n} \sqrt{2}}\), gdzie liczby \(\displaystyle{ a_{n}}\) i \(\displaystyle{ b_{n}}\) są całkowite i dodatnie.

2. Przy oznaczeniach z zadania pierwszego wykaż, że liczby \(\displaystyle{ a_{n},b_{n}}\) spełniają równanie Pella dla \(\displaystyle{ d=2}\) tzn. \(\displaystyle{ a^{2} _{n} - 2b^{2}_{n}=1}\). Czyli \(\displaystyle{ (a_{n}-1)(a_{n}+1)=2b_{n}^{2}}\).

Wskazówki z numeru drugiego nic mi nie mówią.

[kicaj]

\(\displaystyle{ (3-2\sqrt{2} )^n = a_n + b_n\sqrt{2} \rightarrow (3+2\sqrt{2} )^n = a_n -b_n\sqrt{2}\rightarrow 1=(3-2\sqrt{2} )^n (3+2\sqrt{2} )^n = (a_n -b_n\sqrt{2})( a_n + b_n\sqrt{2}) =a_n^2 -2b_n^2}\)

[koniak20]

Mógłby ktoś pomóc mi zrozumieć punkt 1? Bo robię to samo zadanie i niewiem jak się za to zabrać.
Autorka posta pomyliła znaki. Przy 1 powinien być plus zamiast minusa.

[Premislav]

1. Można to łatwo udowodnić indukcyjnie:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) dla \(\displaystyle{ n=1}\)
mamy po prostu \(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^{1}=3+2\sqrt{2}=3+2\cdot \sqrt{2}}\) (\(\displaystyle{ a_1=3, b_1=2}\))
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Powiedzmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) istnieją takie całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a_n, b_n}\), że \(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}}\)
Pokażemy, że wówczas liczbę \(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^{n+1}}\) można również przedstawić w takiej postaci.
Wówczas
\(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^{n+1}=(3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^n=\\=(3+2\sqrt{2})(a_n+b_n\sqrt{2})=(3a_n+4b_n)+(2a_n+3b_n)\sqrt{2}}\)
Skoro liczby \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) są całkowite dodatnie, to \(\displaystyle{ 3a_n+4b_n}\) i \(\displaystyle{ 2a_n+3b_n}\) też takie są.
To kończy drugi krok indukcyjny.

PS "Nie" z czasownikami piszemy oddzielnie.
PPS Akurat dla \(\displaystyle{ n=0}\) to nie jest prawda, bo liczba \(\displaystyle{ 0}\) nie jest całkowitą dodatnią, więc treść jest nie do końca poprawna.

[Zahion]

Inna opcja to odpowiednie skorzystanie z dwumianu Newtona.

[koniak20]

\(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^{n+1}=(3a_n+4b_n)+(2a_n+3b_n)\sqrt{2}}\)
Dziękuję za szybką pomoc i takie pytanie dla upewnienia, to jest wzór rekurencyjny tak?

[Premislav]

Dokładniej to wzorami rekurencyjnym na liczby \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) czyniące zadość warunkom zadania
są
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+1}=3a_n+4b_n, \ n\in \NN^+ \\ b_{n+1}=2a_n+3b_n, \ n\in \NN^+\\a_1=3\\b_1=2 \end{cases}}\)

Pokazałem indukcyjnie, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) całkowite dodatnie, że
\(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}}\)

Jeśli natomiast nie znasz indukcji matematycznej, to może lepiej postąpić tak, jak radził Zahion.

[koniak20]

Chwilowo nie znam indukcji matematycznej ani dwumianu Newtona a w OMJ(OMG) nie jest potrzebne a, że literatury do przerobienia mam dużo to czy po skończeniu gimnazjum warto się za to zabierać czy raczej nie i poczekać aż będzie w liceum jeśli będzie?

Przy okazji zrobiłem zadanie 2 która podała autorka tematu, przepisuję tu by upewnić się czy dobrze zrobiłem.
\(\displaystyle{ a^{2}_{n}-2b^{2}_{n}=1

(a_{n}+b_{n} \sqrt{2})(a_{n}-b_{n} \sqrt{2})=1}\)
Wykorzystując zadanie 1
\(\displaystyle{ ((3+2 \sqrt{2})(3-2 \sqrt{2}))^{n}=1

1^{n}=1

c.k.d}\)

[Premislav]

Mnie się wydawało, że indukcja matematyczna się jednak czasem przydaje (choć w OMG/OMJ nie startowałem). To się zdziwiłem (ja ją miałem na kółku w gimnazjum, wiele wtedy nie zrozumiałem, ale ja ogólnie jestem durniem, a wydaje mi się, że to jedno z użyteczniejszych narzędzi w całej matematyce). Myślę, że warto mieć przerobiony materiał liceum, bo np. zazwyczaj więcej niż połowa zadań z pierwszego etapu OM daje się zrobić przez mniej czy bardziej (zwykle mniej) oczywiste zastosowanie wiedzy licealnej (oczywiście przeważnie dużo subtelniej niż na zasadzie "podstaw do wzoru").
Ale niech lepiej się wypowie ktoś bardziej obeznany.

Co do zadania 1. to rozwiązanie, które nie wymaga ani indukcji, ani dwumianu Newtona nie przychodzi mi jakoś do głowy. Można by ewentualnie zauważyć (czy też przeliczyć), że
\(\displaystyle{ (a+b\sqrt{2})\cdot (c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+\sqrt{2}(bc+ad)}\)
i jeśli \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są całkowite dodatnie, to też \(\displaystyle{ ac+2bd}\) oraz \(\displaystyle{ bc+ad}\) są całkowite dodatnie. Zaś \(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^n=\underbrace{(3+2\sqrt{2})\cdot \ldots \cdot (3+2\sqrt{2})}_{n}}\)
i liczba \(\displaystyle{ 3+2\sqrt{2}}\) jest żądanej postaci, więc tak samo będzie z \(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}\), a więc i \(\displaystyle{ (3+2\sqrt{2})^3=(3+2\sqrt{2})^2\cdot(3+2\sqrt{2})}\) i tak dalej. Ale w tym rozumowaniu też jest indukcja matematyczna, tylko nienazwana. Więc w zasadzie w inny sposób przepisałem to, co już wyżej napisałem.

Ale nie jestem pewien, czy w ten sposób tylko bardziej nie namieszałem...

[koniak20]

Posłucham się rady starszej osoby, więc z jakich źródeł powinienem korzystać by zrozumieć czym jest indukcja matematyczna i jak ją wykorzystywać? I drugie zadanie poprawnie rozwiązałem?
A i jeszcze odniosę się do tego co napisałem wyżej. ,,w OMJ(OMG) nie jest potrzebna" Tutaj błędnie napisałem to bo raczej powinienem zapytać czy jest potrzebna niż stwierdzać, że nie jest.
Bo to w sumie nie mi stwierdzać takie rzeczy, przepraszam za błąd w wypowiedzi.