Elementarne sześciany

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Elementarne sześciany

Post autor: mol_ksiazkowy »

Jak udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ n>1}\) to \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n j^3}\) nie jest sześcianem liczby całkowitej ?
Ukryta treść:    
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Elementarne sześciany

Post autor: bakala12 »

Oczywiście mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^{3}=\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}\)
Ta liczba jest zawsze kwadratem, a sześcianem będzie wtedy i tylko wtedy gdy każda liczba pierwsza wchodząca w jej rozwinięcie na czynniki pierwsze wystąpi tam z wykładnikiem podzielnym przez 3.
Oczywiście \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) są względnie pierwsze, zatem oba muszą być sześcianami, co jest niemożliwe, bo łatwo stwierdzić, że dwa sześciany różnych całkowitych dodatnich liczb muszą się różnić o więcej niż jeden.
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Elementarne sześciany

Post autor: dec1 »

bakala12 pisze:Oczywiście mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^{3}=\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}\)
Raczej \(\displaystyle{ \frac{(n(n+1))^2}{4}}\)
M Maciejewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 318
Rejestracja: 14 maja 2016, o 16:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 90 razy

Elementarne sześciany

Post autor: M Maciejewski »

Załóżmy, że n jest taką liczbą, że suma z treści zadania jest sześcianem liczby naturalnej.
Wtedy zachodzi \(\displaystyle{ \left(\frac 12n(n+1)\right)^2=m^3}\).

Stąd \(\displaystyle{ \frac 12n(n+1)=a^3}\), czyli \(\displaystyle{ n(n+1)=2a^3}\).
Spośród liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) dokładnie jedna jest parzysta. Oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ b}\). Wtedy ta druga wynosi \(\displaystyle{ b\pm 1}\). Ponieważ te liczby są względnie pierwsze, a ich iloczyn wynosi \(\displaystyle{ 2a^3}\), dostajemy, że
\(\displaystyle{ b=2c^3}\), \(\displaystyle{ b\pm 1=d^3}\) dla \(\displaystyle{ c,d\in\mathbb N}\). Zatem zachodzi
\(\displaystyle{ d^3-2c^3=\pm 1}\).
Wystarczy pokazać, że to jest niemożliwe. Mi się to jednak nie udało.
hannahannah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 30 sty 2015, o 09:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ba
Pomógł: 15 razy

Elementarne sześciany

Post autor: hannahannah »

Można dokończyć tak:

1. \(\displaystyle{ \:\:\: x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)}\)

gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon=\exp\left(\frac{2\pi i}3\right)}\)

skąd po podstawieniu w 1. \(\displaystyle{ x:=\frac{d}{c\sqrt[3]2}}\) i pomnożeniu otrzymanej równości przez \(\displaystyle{ 2c^3}\):

\(\displaystyle{ d^3-2c^3=\left(d-c\sqrt[3]2\right)\left(d^2+cd\sqrt[3]2+c^2\sqrt[3]4\right)}\).

Z drugiej strony, na mocy rozważań M Maciejewski, \(\displaystyle{ d^3-2c^3=\pm 1}\) zatem element \(\displaystyle{ d-c\sqrt[3]2}\) jest odwracalny w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}(\sqrt[3]2)}\).

Dalej niestety nieelementarnie. Ciało \(\displaystyle{ \mathbb{Q}\sqrt[3]2}\) ma dwa zanurzena zespolone: \(\displaystyle{ \sqrt[3]2\mapsto\varepsilon\sqrt[3]2}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt[3]2\mapsto\varepsilon^2\sqrt[3]2}\) oraz jedno rzeczywiste (identyczność) zatem na mocy twierdzenia Dirichleta o jednościach elementy odwracalne, w szczególności \(\displaystyle{ d^3-2c^3}\), są postaci \(\displaystyle{ \pm u^n}\), gdzie \(\displaystyle{ u}\) jest jednością fundamentalną.

Jednością fundamentalną w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt[3]2)}\) jest np. element \(\displaystyle{ 1+\sqrt[3]2+\sqrt[3]4=(1-\sqrt[3]2)^{-1}}\), co można otrzymać przepisując dowód twierdzenia Dirichleta dla ciała \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt[3]2)}\). Stąd \(\displaystyle{ d-c\sqrt[3]2=\pm(1-\sqrt[3]2)^n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\). Niech teraz \(\displaystyle{ d_n, c_n, b_n}\) będą takie, że \(\displaystyle{ \left(1-\sqrt[3]2\right)^n=d_n+c_n\sqrt[3]2+b_n\sqrt[3]4}\). Wówczas

\(\displaystyle{ d_{n+1}=d_n-b_n}\)

\(\displaystyle{ c_{n+1}=c_n-d_n}\)

\(\displaystyle{ b_{n+1}=b_n-c_n}\).

Jeśli więc \(\displaystyle{ b_{n+1}=0}\), to \(\displaystyle{ c_n=b_n}\), czyli \(\displaystyle{ d_{n+1}=-c_{n+1}}\). Skąd

\(\displaystyle{ \left(1-\sqrt[3]2\right)^{n+1}=\pm d_{n+1}\left(1-\sqrt[3]2\right)}\)

a stąd \(\displaystyle{ n=0}\) lub \(\displaystyle{ n+1=0}\) oraz \(\displaystyle{ d_{n+1}=\pm 1}\). Zatem równość \(\displaystyle{ d-c\sqrt[3]2=\pm \left(1-\sqrt[3]2\right)^{n+1}}\) może być spełniona jedynie dla \(\displaystyle{ (d,c)\in\{(1,0), (-1,0),(1,1),(-1,-1)\}}\). Dalej, liczby \(\displaystyle{ c,d}\) są naturalne, co wynika z ich określenia w poscie powyżej, więc \(\displaystyle{ (d,c)=(1,1)}\). Wówczas przy oznaczeniach z postu wyżej \(\displaystyle{ b=2}\), czyli \(\displaystyle{ n=1}\). Zatem dla \(\displaystyle{ n>1}\) dana suma nie jest sześcianem.

A jeszcze lepiej poprosić użytkownika Slup, o zastąpienie rozumowania powyżej pokazaniem, że grupa Mordella-Weila krzywej \(\displaystyle{ E:y^3-2x^3=1}\) jest dwuelementowa.
ODPOWIEDZ