Równianie diofantyczne

[Milczek]

Czy da się jakoś sprytnie do tego podejść ?
\(\displaystyle{ a,b,c \in \NN}\).
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ a^2+2b^2=3c^2}\)

Ps. doszło ono do mnie pocztą szeptaną i proszę, przeczytaj mój opis

[szw1710]

Jeśli \(\displaystyle{ a=b}\), to oczywiście \(\displaystyle{ a=b=c}\) i równanie jest spełnione. Załóż więc, że \(\displaystyle{ a\ne b}\). Przypuszczam, że wtedy dojdzie się do sprzeczności.

[dec1]

Oprócz trójek \(\displaystyle{ (n,n,n)}\) równanie spełniają trójki \(\displaystyle{ (5n,n,3n)}\)

[Milczek]

Oprócz trójek \(\displaystyle{ (n,n,n)}\) równanie spełniają trójki \(\displaystyle{ (5n,n,3n)}\)

To jest odpowiedź bo znasz zadanie czy dodatkowo zauważyłeś?

[dec1]

Zauważyłem dwie pierwsze takie trójki, potem udowodniłem, że wszystkie spełniają to równanie.

Czy to wszystkie rozwiązania nie wiem

[szw1710]

Może pomoże coś obustronne odjęcie \(\displaystyle{ 3b^2}\). Wtedy mamy postać \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=3(c-b)(c+b)}\).

[dec1]

Zauważyłem, że takie trójki też będą spełniały równanie:
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ a_0=1}\)

\(\displaystyle{ b_{n}=10b_{n-1}-b_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ b_0=1}\) i \(\displaystyle{ b_1=11}\)

\(\displaystyle{ c_{n}=10c_{n-1}-c_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ c_0=1}\) i \(\displaystyle{ c_1=9}\)

Pierwsze trójki uzyskane w ten sposób (warto zauważyć, że mamy na zmianę \(\displaystyle{ 3|a-b}\) i \(\displaystyle{ 3|a+b}\), ostatnie cyfry też się powtarzają):
\(\displaystyle{ (m,m,m) \\
(m,11m,9m) \\
(m,109m,89m) \\
(m,1079m,881m) \\
(m,10681m,8721m) \\
(m,105731m,86329m) \\
(m,1046629m,854569m) \\
(m,10360559m,8459361m)}\)

Pozostaje znaleźć metodę znajdywania pozostałych trójek np. \(\displaystyle{ (5m,m,3m)}\)

Edit 2:
Dla takich trójek zamiast \(\displaystyle{ 10}\) musimy umieścić \(\displaystyle{ 4}\) we wzorach na ciąg (hipoteza: współczynnik ten to średnia danych wyrazów nr 1 ciągów). Otrzymujemy wtedy takie trójki:
\(\displaystyle{ (5m,m,3m) \\
(19m,m,11m) \\
(71m,m,41m) \\
(265m,m,153m) \\
(989m,m,571m) \\
(3691m,m,2131m) \\
(13775m,m,7953m) \\
(51409m,m,29681m) \\
(191861m,m,110771m)}\)

Już nie możemy postąpić analogicznie dla \(\displaystyle{ c}\). Pytanie: czy są to wszystkie rozwiązania? Na razie wszystkie rozwiązania, które podałem, mają \(\displaystyle{ a=1}\) lub \(\displaystyle{ b=1}\)

Edit 3:
Możliwe, że są to wszystkie rozwiązania.
Jeśli podwoimy \(\displaystyle{ a}\) np. \(\displaystyle{ a_0=a_1=2}\) to dostaniemy te same dwójki, tylko z dwa razy mniejszym \(\displaystyle{ m}\)
np.
\(\displaystyle{ (2m,22m,18m)}\)
Podobnie jest z \(\displaystyle{ b}\), dostajemy wtedy np. takie trójki:
\(\displaystyle{ (142m,2m,82m)}\)

Edit 4:
A wzory jawne wyglądają tak (dla \(\displaystyle{ m,n\in \mathbb{N}}\)):

\(\displaystyle{ a=m}\)

\(\displaystyle{ b=\frac{m}{4}\left( (\sqrt{6}-2)\left(-(5-2\sqrt{6})^n\right)+(2+\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})^n\right)}\)

\(\displaystyle{ c=\frac{m}{6}\left((\sqrt{6}-3)\left(-(5-2\sqrt{6})^n\right)+(3+\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})^n \right)}\)

lub

\(\displaystyle{ a=\frac{m}{2}\left( (\sqrt{3}-1)\left(-(2-\sqrt{3})^n\right)+(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n\right)}\)

\(\displaystyle{ b=m}\)

\(\displaystyle{ c=\frac{m}{6}\left( (\sqrt{3}-3)\left(-(2-\sqrt{3})^n\right)+(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n\right)}\)

I to pewnie są wszystkie rozwiązania

[kicaj]

Rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ a=2p^2 -4pq - q^2 , b= 2p^2 +2pq -q^2 , c=q^2 + 2p^2}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q\in\mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ NWD (p,q) =1.}\)