Wyznacz x, y spełniające równanie

Larsonik · Post autor: **Larsonik** » 12 maja 2016, o 20:50

Nie wiem, czy to dobry dział. Jeśli zły, to przepraszam i proszę o przeniesienie .

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ (x, y)}\) , gdzie \(\displaystyle{ x \ge y > 0}\), spełniających równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy} = \frac{1}{2}}\)

Przekształciłem równanie do postaci \(\displaystyle{ xy - 2(x + y) = 2}\) i nie za bardzo mam dalej pomysł. Proszę o wskazówki.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 maja 2016, o 20:58

Przekształć do postaci \(\displaystyle{ y=...}\)

Larsonik · Post autor: **Larsonik** » 12 maja 2016, o 21:13

Faktycznie! A ja się zastanawiałem nad podzielnością tych liczb niepotrzebnie, a to takie proste. Upewniając się - powstaje funkcja homograficzna i wystarczy odczytać z wykresu te wartości \(\displaystyle{ y}\), które są naturalne?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 maja 2016, o 21:17

Nie wiem jak z wykresu.

Dostajesz iloraz z x-sem. Wcześniej sprawdzając czy dla \(\displaystyle{ x=2}\) są rozwiązania.

\(\displaystyle{ y=2+\frac{6}{x-2}}\) i masz y-greki naturalne gdy prawa jest naturalna, czyli szukasz odpowiednich x-sów.

Larsonik · Post autor: **Larsonik** » 12 maja 2016, o 21:20

Tak też zrobiłem, tylko narysowałem sobie wykres, bo idzie poprzesuwać \(\displaystyle{ \frac{x}{6}}\), ale to w sumie było niepotrzebne. Dzięki