Liczby pierwsze.

[seven77]

Prosze o pomoc w udowodnieniu :
Dane są trzy liczby pierwsze \(\displaystyle{ a,b,c}\) większe od \(\displaystyle{ 3}\) i liczba \(\displaystyle{ d}\) taka, że \(\displaystyle{ b = a + d}\) i \(\displaystyle{ c = a + 2d}\). Uzasadnij, że \(\displaystyle{ d}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\).

[Premislav]

Wskazówka: zauważ, że wszystkie liczby pierwsze większe od \(\displaystyle{ 3}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\) lub \(\displaystyle{ 6k+5}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego.-- 10 maja 2016, o 20:26 --Wskazówka druga: masz trzy liczby pierwsze większe od \(\displaystyle{ 3}\), więc co najmniej dwie dają taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 6}\), bo możliwe reszty są tylko dwie.

[Konrad Gruhn]

Możesz to wytłumaczyć w wersji dla "mniej zaawansowanych"? O ile ze wskazówki 1 mogłem się czegoś nowego dowiedzieć, o tyle obie te wskazówki niewiele wnoszą, gdyż nie potrafię ich wykorzystać.

[Premislav]

Skoro \(\displaystyle{ b=a+d}\) i \(\displaystyle{ c = a + 2d}\), to mamy jednocześnie:
\(\displaystyle{ d=b-a}\), \(\displaystyle{ d=2d-d=c-a-(b-a)=c-b}\) oraz \(\displaystyle{ d= \frac{c-a}{2}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ a}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 6}\), to koniec, bo \(\displaystyle{ d=b-a}\) i jeżeli dwie liczby całkowite \(\displaystyle{ x,y}\) mają tę samą resztę z dzielenia przez jakąś liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), to ich różnica \(\displaystyle{ x-y}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\).
Podobnie jeśli \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ b}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 6}\), to też koniec zadania, bo \(\displaystyle{ d=c-b}\). Pozostaje przypadek, w którym tylko \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ a}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 6}\) - wtedy \(\displaystyle{ 6}\) dzieli \(\displaystyle{ c-a}\), czyli \(\displaystyle{ 6/2=3}\) dzieli \(\displaystyle{ \frac{c-a}{2}=d}\). A skoro \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ d}\), to żebyśmy wiedzieli, że \(\displaystyle{ 6}\) dzieli \(\displaystyle{ d}\), wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ d}\) jest parzysta, bo \(\displaystyle{ 2\cdot 3=6}\) oraz liczby \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) są względnie pierwsze (ich \(\displaystyle{ \NWD}\) to \(\displaystyle{ 1}\)). Ale dalej mamy \(\displaystyle{ d=b-a}\) i różnica liczb pierwszych większych od \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą parzystą.
Któraś z powyższych sytuacji zajdzie, bo mamy trzy liczby pierwsze większe od \(\displaystyle{ 3: a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\), a tylko dwie dostępne reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 6}\): \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 5}\) (bo liczba pierwsza większa od \(\displaystyle{ 3}\) jest nieparzysta i niepodzielna przez trzy). Jest to prosty przypadek zastosowania tzw. zasady szufladkowej Dirichleta.
Pewnie da się jakoś dużo prościej, ale ja nigdy nie byłem dobry z teorii liczb. Nawet kiedyś w podstawówce dostałem tróję ze sprawdzianu z NWD i NWW.

[seven77]

Dziekuję bardzo.
PS. W imieniu Konrada własciwie