Działanie na równaniach modularnych

[kolarz3]

Mam następujące zadania, mógłby mi ktoś powiedzieć jak się za to zabrać albo podesłać jakiegoś linka by się poduczyć ?
1. Oddział żołnierzy ustawił się w trójkami w szereg i okazało się, że na końcu stoi
tylko jeden żołnierz. Ustawiając się piątkami – zostało trzech, a ustawiając się po
siedmiu – dwóch. Ilu żołnierzy ma ten oddział?

2.Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 5^{36} - 1}\) dzieli się przez 13.

3. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{2} +4x + 3 =0}\) w \(\displaystyle{ Z_{21}}\)

[adi020]

1.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Chi%C5%84skie_twierdzenie_o_resztach

2.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ma%C5%82e_twierdzenie_Fermata

[Premislav]

3. normalnie rozwiąż to równanie tak, jak w \(\displaystyle{ \RR}\) (wyróżnik itd.), a potem dodaj do wyników takie wielokrotności \(\displaystyle{ 21}\), żeby rozwiązania należały do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1..20\right\}}\).

[a4karo]

3. normalnie rozwiąż to równanie tak, jak w \(\displaystyle{ \RR}\) (wyróżnik itd.), a potem dodaj do wyników takie wielokrotności \(\displaystyle{ 21}\), żeby rozwiązania należały do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1..20\right\}}\).

A rozwiąż tak równanie \(\displaystyle{ x^2+4x+7=0\ \mathrm{ mod }\ 21}\) spryciarzu

Albo \(\displaystyle{ x^2+4x+9=0\ \mathrm{ mod }\ 21}\), które ma cztery rozwiązania

[Premislav]

No fakt, taka metoda jest bardzo nieuniwersalna.
Wobec tego inaczej: równoważnie szukamy takich liczb \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ Z_{21}}\), że
\(\displaystyle{ (x+2)^{2}\equiv 1\pmod{21}}\), zatem \(\displaystyle{ x+2\equiv 1\pmod{21}}\) lub \(\displaystyle{ x+2 \equiv -1\pmod{21}}\), stąd \(\displaystyle{ x=20 \vee x=18}\).

[dec1]

A co powiesz na \(\displaystyle{ x=6 \vee x=11}\)?

[Premislav]

OK, no to głupoty napisałem. Sorry.

-- 3 maja 2016, o 15:23 --

Wszystko przez to, że \(\displaystyle{ 21}\) nie jest liczbą pierwszą, nie wiedziałem o tym, a przecież \(\displaystyle{ 21=3\cdot 7}\)