Zagnieżdżone pierwiastki

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą naturalną zaś \(\displaystyle{ n= m^2+m}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{n+ \sqrt{ n+ \sqrt{n+ \sqrt{n+ …}} }}}\) jest liczbą całkowitą. Czy też i na odwrót ?

[dec1]

Nie jestem pewien czy taki dowód jest poprawny (pewnie nie), no ale:

Ukryta treść:    

Zauważmy, że jeśli oznaczymy sobie \(\displaystyle{ z=\sqrt{n+ \sqrt{ n+ \sqrt{n+ \sqrt{n+ …}} }}}\), to \(\displaystyle{ z=\sqrt{n+z}}\)
Podnosimy do kwadratu i odejmujemy:
\(\displaystyle{ z^2-z=n=m^2-(-m)}\)
Z tej równości widać, że \(\displaystyle{ z}\) jest całkowite, gdyż wiemy, że \(\displaystyle{ m}\) jest naturalne (zresztą \(\displaystyle{ n}\) też).

-- 18 kwi 2016, o 13:47 --

Albo:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ z=\sqrt{n+ \sqrt{ n+ \sqrt{n+ \sqrt{n+ …}} }}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4n})=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{1+4(m^2+m)}}{2}=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+m^2+m}=\frac{1}{2}+\sqrt{\left(m+\frac{1}{2}\right)^2}=m+1}\)

\(\displaystyle{ m}\) naturalne, więc oczywiście \(\displaystyle{ z}\) też.