Układ równań.

[KeNaj712]

Rozwiązać układ równań w zbiorze liczb rzeczywistych.

\(\displaystyle{ p^{2} + q^{2} =rs \\
r^{2} + s^{2} =pq}\)

[kerajs]

Układ na pierwszy rzut oka ma rozwiązanie trywialne (\(\displaystyle{ p=q=s=t=0}\)), ale czy ma też inne rozwiązania?
Niech \(\displaystyle{ q= \alpha p}\) to układ ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p^2+ (\alpha p)^2 =rs\\ r^2+s^2= \alpha p^2 \end{cases}\\
r^2+s^2= \alpha \frac{rs}{1+ \alpha ^2}\\
(1+ \alpha ^2)(r^2+s^2)= \alpha rs \\
( 1 + \alpha ^2)(r^2+s^2)- \alpha rs=0}\)
1) dla dodatniego alfa:
\(\displaystyle{ ( 1- \frac{ \alpha }{2} + \alpha ^2)(r^2+s^2)+\frac{ \alpha }{2}(r-s)^2=0}\)
2) dla ujemnego alfa:
\(\displaystyle{ ( 1+ \frac{ \alpha }{2} + \alpha ^2)(r^2+s^2)-\frac{ \alpha }{2}(r+s)^2=0}\)
W obu przypadkach tylko rozwiązanie zerowe (\(\displaystyle{ r=s=0}\)) spełnia te równania.

Pewnie można szybciej i ładniej.

inaczej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p^2+q^2=rs \\ r^2+s^2=pq \end{cases} \\
\begin{cases} 2p^2+2q^2=2rs \\2 r^2+2s^2=2pq \end{cases}}\)
Dodając stronami :
\(\displaystyle{ 2p^2+2q^2+2 r^2+2s^2=2pq+2rs \\
p^2+q^2+ r^2+s^2+(p-q)^2+(r-s)^2=0 \\ p=q=r=s=0}\)
ale jakoś mnie to rozwiązanie nie przekonuje.