rozwiąż równanie / udowodnic nastepujace tozsamosci

[pred]

Tak jak w temacie:

1. rozwiazac
\(\displaystyle{ {x \choose 2} - { y \choose 1} = 1}\)

2. Udowodnic nastepujaca tozsamosc

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty }{n \choose k}k=n2 ^{n-1}}\)

Odnosnie drugiego, prowadzaca korzystala tutaj z pochodnej. Mowila, ze da sie robic to pod schemat. Bylbym wdzieczny za jakies bardziej przystepne wytlumaczenie.

[kerajs]

1)
\(\displaystyle{ y= \frac{x(x-1)}{2}-1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \NN \setminus \left\{ 0,1,2\right\}}\)
2)
Zapis sumy jest błędny bo dla \(\displaystyle{ k>n}\) wyrażenia \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) nie istnieją.

[Premislav]

2)
Zapis sumy jest błędny bo dla \(\displaystyle{ k>n}\) wyrażenia \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) nie istnieją.

Dlaczego? Dla \(\displaystyle{ k>n}\) to jest po prostu zero, więc suma ta redukuje się do
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ n }{n \choose k}k}\)

Zauważmy następującą tożsamość: \(\displaystyle{ (x+1)^{n}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} x^{k}}\)
Wynika ona natychmiastowo ze wzoru dwumianowego Newtona. Następnie różniczkujemy tę tożsamość stronami po \(\displaystyle{ x}\) i dostajemy \(\displaystyle{ n(1+x)^{n-1}= \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}kx^{k-1}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}kx^{k-1}}\) (bo jak dodamy zero, to nic się nie zmieni)
Następnie podstawiamy \(\displaystyle{ x=1}\) i voila.

Inaczej:
ponieważ \(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k}}\), więc \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}k=\sum_{k=0}^{n}{n \choose n-k}(n-k)}\) oraz
\(\displaystyle{ 2\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}k=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}k+ \sum_{k=0}^{n}{n \choose n-k}(n-k)= \sum_{k=0}^{n}n{n \choose k}=n2^{n}}\)
Dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i voila.

Jeszcze inaczej:
zauważmy, że \(\displaystyle{ k{n \choose k}=n {n-1 \choose k-1}}\) - dowód przez rozpisanie na silnie i skrócenie. A zatem \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}k=\sum_{k=1}^{n}{n \choose k}k= n\sum_{k=1}^{n}{n-1 \choose k-1}=n \sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k-1}=n2^{n-1}}\)-- 6 kwi 2016, o 00:50 --Może dodam, że \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) można też zdefiniować w ten sposób:
\(\displaystyle{ {n \choose k}= \frac{n^{\underline k}}{k!}= \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}}\)
- wtedy może też być \(\displaystyle{ n \notin \NN}\), a nawet \(\displaystyle{ n \notin \ZZ}\) (oczywiście wtedy interpretację kombinatoryczną szlag trafia).

[Vax]

Jeszcze inaczej. Chcemy wybrać niepusty podzbiór \(\displaystyle{ \lbrace 1, 2, \ldots , n\rbrace}\) z wyróżnionym elementem. Na ile sposobów można to zrobić? Z jednej strony sumujemy po wielkości podzbioru i wyróżniamy pewną liczbę, czyli dostajemy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k{n \choose k}}\). Z drugiej strony możemy na początku wyróżnić pewien element na \(\displaystyle{ n}\) sposobów a z reszty wybrać dowolny podzbiór na \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) sposobów, co daje ostatecznie \(\displaystyle{ n2^{n-1}}\)

[pred]

mam jeszcze z tego kilka przykładów do rozwiązania. Utknąłem na niektórych z nich.

np.

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } {n \choose k}k^{2}=n(n+1)2^{n-2}}\)
Tutaj wychodzę na \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}{n \choose k}1^{k-2}(k^{2}-k)=(n^{2}-n)(1+x)^{n-2}}\) Podstawiałem 1, ale za wiele mi to nie dawało.

Drugi przykład

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } (-1)^{k}{n \choose k}k^{2}=0}\)

Byłbym wdzięczny za więcej wskazówek, jak się zabierać za tego typu zadania.

[Premislav]

I znowu suma w zasadzie jest do \(\displaystyle{ n}\), dalej same zera, więc ten zapis to typowy przerost formy nad treścią.

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ n } {n \choose k}k^{2}
=\sum_{k=1}^{ n } {n \choose k}k^{2}=\sum_{k=1}^{ n } {n \choose k}k(k-1)+\sum_{k=1}^{ n} {n \choose k}k}\)
Tę drugą sumę znasz z poprzedniego zadania, to jest \(\displaystyle{ n2^{n-1}}\). Natomiast
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ n } {n \choose k}k(k-1)x^{k-2}=\sum_{k=2}^{n } {n \choose k}k(k-1)x^{k-2}= \frac{ \partial ^{2}}{\partial x^{2}} \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}=\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}(x+1)^{n}}\) ze wzoru dwumianowego. Po dwukrotnym zróżniczkowaniu tego ostatniego i wstawieniu \(\displaystyle{ x=1}\) daje to \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ n } {n \choose k}k(k-1)=n(n-1)2^{n-2}}\). Po dodaniu do tego \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ n} {n \choose k}k=n2^{n-1}}\) dostajesz tezę.

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } (-1)^{k}{n \choose k}k^{2}}\) robisz w zasadzie tak samo, tylko będą pochodne \(\displaystyle{ (x-1)^{n}}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ x=1}\).
Aha, jeszcze tego nie było:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n \choose k}k=- \frac{d}{dx}(x+1)^{n}\bigg|_{x=-1}=0}\)



-- 9 kwi 2016, o 19:52 --

A, sorry, jeszcze taka uwaga, że \(\displaystyle{ - \frac{d}{dx}(x+1)^{n}\bigg|_{x=-1}=0}\) nie jest prawdą dla \(\displaystyle{ n=1.}\) no ale wtedy łatwo widać, jaka jest ta suma.-- 9 kwi 2016, o 20:15 --Sorry, przez przypadek usunąłem moją interpretację kombinatoryczną równości
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ n } {n \choose k}k^{2} =n(n+1)2^{n-2}}\)
Zmarł drugi największy Polak po Wałęsie i w związku z tym na tajnym zgromadzeniu Żydów, wśród kamieni nagrobnych praskiego cmentarza wybierana jest nowa redakcja Gazety Wyborczej.
Mamy \(\displaystyle{ n}\) osób i chcemy wybrać pewne osoby spośród nich do zarządu, w tym potrzebujemy redaktora naczelnego i skarbnika, przy czym przyjmujemy, że można te funkcje łączyć.
To z jednej strony wybieramy \(\displaystyle{ k}\) osób (\(\displaystyle{ k=1...n}\)), a następnie w tej grupie na \(\displaystyle{ k^{2}}\)sposobów wybieramy redaktora naczelnego i skarbnika.
Z drugiej strony możemy na to spojrzeć tak: albo redaktor naczelny będzie tą samą osobą co skarbnik, albo nie. Tj. przy pierwszym podejściu wybieramy na n sposobów człowieka, który będzie zarazem rednaczem i skarbnikiem, a następnie na \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) sposobów możemy dobrać mu jakichś ludzi do pomocy (być może zero...). A przy drugim - rozdzielność urzędów - na \(\displaystyle{ n(n-1)}\) sposobów wybieramy redaktora naczelnego i skarbnika, a potem na \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\) sposobów możemy wybrać jeszcze pewne osoby do zarządu (możemy też nie wybierać już nikogo więcej).