Podzielność liczb
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Podzielność liczb
Weźmy to dla dwójki.
Mamy:
\(\displaystyle{ 2|a \Rightarrow a=2k \Rightarrow a^{2}=4k^{2} \Rightarrow 2|a^{2}}\)
W drugą stronę jest troszkę trudniej.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 2|a^{2}}\). Nie wprost, jeśli \(\displaystyle{ 2 \nmid a}\) to oczywiście \(\displaystyle{ 2 nmid a^{2}}\), sprzeczność.
Dla \(\displaystyle{ 3,5,7}\) dowód jest identyczny. Dla szóstki korzystamy z prawdziwości tezy dla \(\displaystyle{ 2,3}\) i własności \(\displaystyle{ NWD\left(2,3\right)=1}\).
Dlaczego to się psuje dla czwórki?
Oczywiście implikacja: \(\displaystyle{ 4|a \Rightarrow 4|a^{2}}\) jest oczywista.
Nie jest natomiast prawdą implikacja odwrotna. Weźmy \(\displaystyle{ a=2}\). Wówczas \(\displaystyle{ 4|a^{2}}\), jednak \(\displaystyle{ 4 \nmid a}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ 2|a \Rightarrow a=2k \Rightarrow a^{2}=4k^{2} \Rightarrow 2|a^{2}}\)
W drugą stronę jest troszkę trudniej.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 2|a^{2}}\). Nie wprost, jeśli \(\displaystyle{ 2 \nmid a}\) to oczywiście \(\displaystyle{ 2 nmid a^{2}}\), sprzeczność.
Dla \(\displaystyle{ 3,5,7}\) dowód jest identyczny. Dla szóstki korzystamy z prawdziwości tezy dla \(\displaystyle{ 2,3}\) i własności \(\displaystyle{ NWD\left(2,3\right)=1}\).
Dlaczego to się psuje dla czwórki?
Oczywiście implikacja: \(\displaystyle{ 4|a \Rightarrow 4|a^{2}}\) jest oczywista.
Nie jest natomiast prawdą implikacja odwrotna. Weźmy \(\displaystyle{ a=2}\). Wówczas \(\displaystyle{ 4|a^{2}}\), jednak \(\displaystyle{ 4 \nmid a}\).