rozwiązania rownania w zbiorze liczb naturalnych

[Olka97]

Rozwiąż rownanie w zbiorze liczb naturalnych.

\(\displaystyle{ n ^{2} +m^{2}=2000}\)

[Zahion]

Zastanów się czy któraś z liczb \(\displaystyle{ n, m}\) może być nieparzysta ( obie ? ) i kontynuuj ten tok rozumowania.

[Olka97]

Według mnie albo obie są nieparzyste albo obie parzyste. Jednak nie wiem, co zrobić dalej.

[Zahion]

Załóż, że obie są nieparzyste i sprawdz czy istnieją takowe liczby.

[Olka97]

Mam sprawdzać metodą prób i błędów, czy jest jakiś szybszy sposób?

[Zahion]

Jeżeli \(\displaystyle{ n, m}\) są nieparzyste to \(\displaystyle{ n = 2n_{1} + 1, m = 2m_{1} + 1}\) dla pewnych \(\displaystyle{ m_{1}, n_{1}}\) naturalnych. Podstaw i podziel przez \(\displaystyle{ 2}\). Co można powiedzieć o parzystości lewej i prawej strony ?

[Olka97]

Jedna strona jest parzysta, z kolei druga jest nieparzysta. Nie istnieją więc takie liczby nieparzyste, by spełniały to równanie. Trzeba więc rozpatrzec liczby parzyste. I co dalej?-- 3 kwi 2016, o 12:50 --Chyba doszłam do rozwiązania. Czy tymi rozwiązaniami będą pary liczb 8 i 44 oraz 20 i 40?

[Zahion]

Działamy ciągle analogicznie ( w pewnym momencie będziemy musieli rozpatrywać sytuację podzielności przez \(\displaystyle{ 5}\) ).
Podstaw parzyste liczby ( w ogólnej postaci ), podziel co będzie można podzielić i dalej rozpatruj owe liczby. Pokaż co Ci wyszło i do jakich wniosków dochodzisz.
PS. Tak ( oczywiście jeżeli rozwiązanie to para \(\displaystyle{ (a, b)}\) więc także \(\displaystyle{ (b, a)}\)).

[Olka97]

Dziękuję