liczby względnie pierwsze

[Joanna Z]

Mam takie lemat:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ a,b,c \in \ZZ}\). Wtedy:

1. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ c}\), to liczba \(\displaystyle{ ab}\) jest również względnie pierwsza z \(\displaystyle{ c}\).

Proszę o pomoc w dowodzie tego punktu.

[leg14]

Jak sie maja pierwsze dzielniki \(\displaystyle{ a\cdot b}\) do pierwszych dzielnikow \(\displaystyle{ a}\)i \(\displaystyle{ b}\)?

[Joanna Z]

Napisze tak:

Mam wykonany dowód tego, ale kazano mi to zapisać trochę w innej formie i nie bardzo wiem jak. Oto dowód, który posiadam:

Niech \(\displaystyle{ d=NWD(ab,c)}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ d|ab}\) i \(\displaystyle{ d|c.}\). Jeśli \(\displaystyle{ NWD(d,a) = z >1}\), to \(\displaystyle{ z|c}\), ponieważ \(\displaystyle{ z|d}\) i \(\displaystyle{ d|c}\). Skoro \(\displaystyle{ z|a}\), więc \(\displaystyle{ z>1}\) byłoby \(\displaystyle{ NWD(a,c)}\) wbrew założeniu, że \(\displaystyle{ NWD(d,a) = 1}\). Korzystając z informacji, że \(\displaystyle{ d|ab}\) oraz z zasadniczego twierdzenia arytmetyki znajdujemy \(\displaystyle{ d|b}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ d|b}\) oraz \(\displaystyle{ d|c}\), stąd \(\displaystyle{ NWD(b,c) = 1}\) znajdujemy \(\displaystyle{ d=1}\), czyli \(\displaystyle{ NWD(ab,c) = 1}\).

[bakala12]

Jeśli \(\displaystyle{ NWD(d,a) = z >1}\), to \(\displaystyle{ z|c}\), ponieważ \(\displaystyle{ z|d}\) i \(\displaystyle{ d|c}\). Skoro \(\displaystyle{ z|a}\), więc \(\displaystyle{ z>1}\) byłoby \(\displaystyle{ NWD(a,c)}\) wbrew założeniu, że \(\displaystyle{ NWD(d,a) = 1}\).

Możesz wyjaśnić co to? Bo albo tu jest jakaś uporczywa literówka, której ja nie mogę dostrzec i zweryfikować, albo to się nie trzyma kupy.