Udowodnić, że nie da się przedstawić liczby

[GluEEE]

\(\displaystyle{ 2^k(8p+7)}\), gdzie \(\displaystyle{ k,p}\) są naturalne.
Udowodnić, że nie da się przedstawić tej liczby jako sumy kwadratów trzech liczb całkowitych.

[kicaj]

To nie jest prawdą

\(\displaystyle{ 30=2\cdot (8\cdot 1 +7) =5^2 +2^2 +1^2}\)

[darek334]

A jeżeli :
\(\displaystyle{ p \neq k}\)
bo to chyba o to chodziło ?

[kerajs]

\(\displaystyle{ 2^1(8 \cdot 2+7)=46=6^2+3^2+1^2}\)

[darek334]

No tak zgadza się , ale tu chodziło o dowód w sumie jednym przykładem udowadniamy że nie jest to prawda , tak tylko się zastanawiam czy można to jeszcze inaczej udowodnić że własnie nie będzie prawdą czy tak się zostawia ? Takie pytanie teoretyczne.

[Jan Kraszewski]

Tak się zostawia. Falsyfikacja twierdzenia ogólnego odbywa się poprzez podanie kontrprzykładu.

JK

[GluEEE]

Dziękuję. A jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste?

[kerajs]

A jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste?

Czyli sprowadza się to szukania rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ 4^{n}(8p+7)=a^2+b^2+c^2}\)
Skoro \(\displaystyle{ 4^{n}(8p+7)\pmod{4}=0}\) to każda z liczb podnoszonych do kwadratu musi być parzysta
(sprawdź jaka będzie reszta z dzielenia przez 4 tej sumy gdy nie będą to trzy liczby parzyste)
\(\displaystyle{ 4^{n}(8p+7)=(2a')^2+(2b')^2+(2c')^2 \\
4^{n-1}(8p+7)=a'^2+b'^2+c'^2}\)
Taka sytuacja powtarza się do
\(\displaystyle{ 4^{n}(8p+7)=(2^nA)^2+(2^nB)^2+(2^nC)^2 \\
8p+7=A^2+B^2+C^2}\)
Skoro \(\displaystyle{ 8p+7\pmod{4}=3}\) to liczby \(\displaystyle{ A,B,C}\) muszą być nieparzyste
\(\displaystyle{ 8p+7=(2D+1)^2+(2E+1)^2+(2F+1)^2 \\
8p+7=4D^2+4D+1+4E^2+4E+1+4F^2+4F+1\\
8p+4=4D^2+4D+4E^2+4E+4F^2+4F \\
2p+1=D^2+D+E^2+E+F^2+F \\
2p+1=D(D+1)+E(E+1)+F(F+1)}\)
Lewa strona jest nieparzysta, a prawa parzysta więc takie liczby \(\displaystyle{ D,E,F}\) nie istnieją. Powoduje to brak rozwiaząnia dla \(\displaystyle{ A,B,C}\), jak i dla \(\displaystyle{ a',b',c'}\) a w konsekwencji i dla \(\displaystyle{ a,b,c}\)

[GluEEE]

Dziękuję za rozwiązanie.

Pozdrawiam.