Weźmy pierwiastek n-tego stopnia z liczby naturalnej, taki, że część całkowita tego pierwiastka wyniesie \(\displaystyle{ 3}\), np:
\(\displaystyle{ \sqrt[27]{43}=3,01591}\)
Czy można znaleźć takie liczby naturalne oraz stopnie pierwiastka, że liczba zer zaraz po przecinku będzie dowolna (w przykładzie jest tylko jedno zero)? Jak znajdować te pary liczb?
Rozwinięcie dziesiętne pierwiastka n-tego stopnia z liczby
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Rozwinięcie dziesiętne pierwiastka n-tego stopnia z liczby
Tak. Wsk: liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{\ln n}{m},\ n,m\in\NN}\) tworzą zbiór gęsty w zbiorze \(\displaystyle{ (0,\infty)}\)
-
matemix
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozwinięcie dziesiętne pierwiastka n-tego stopnia z liczby
Ok. Pytam w kontekście potencjalnych rozwiązań naturalnych równania (innych niż \(\displaystyle{ y=1}\), \(\displaystyle{ x=1}\)):
\(\displaystyle{ w= \frac {2^{x_{1}} + 2^{x_{2}} \cdot \frac {3} {2} + 2^{x_{3}} \cdot \frac {3^{2}} {2^2} + 2^{x_{4}} \cdot \frac {3^{3}} {2^3} + ... + 2^{x_{y-1}} \cdot \frac {3^{y-1}} {2^{y-1}} \cdot 2^{y-1}} {2^{x+y}-3^{y}}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{y-1} \in \left[ 0,x \right]}\)
\(\displaystyle{ x_{1} \ge x_{2} \ge x_{3} \ge ... \ge x_{n}}\)
Można utworzyć:
\(\displaystyle{ \frac {y} {y+x} \binom{y+x}{x}}\)
rozwiązań tego równania. Liczby z mianownika w większości przypadków okazują się być niepodzielne przez \(\displaystyle{ {2^{x+y}-3^{y}}\). Jednak jeżeli możemy znaleźć takie wartości \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ x}\), że rozwinięcie dziesiętne:
\(\displaystyle{ \sqrt[y]{x+y}}\)
będzie dawało dowolną ilość zer po liczbie \(\displaystyle{ 3}\), to rozpatrując już choćby minimum tego równania, upraszczające się do wzoru (wszystkie \(\displaystyle{ x_{k}}\) równe zero):
\(\displaystyle{ 3^{y}-2^{y}}\)
wychodzi, że \(\displaystyle{ \frac {3^{y}-2^{y}} {2^{y+x}-3^{y}}}\) dąży do nieskończoności. Sugerowałoby to, że prawdopodobne jest, że dla pewnych dużych parametrów podzielność zajdzie dla którejś kombinacji równania.
Sądzicie, że da się to wykazać jakoś bardziej formalnie? Czy to chybione rozumowanie?
\(\displaystyle{ w= \frac {2^{x_{1}} + 2^{x_{2}} \cdot \frac {3} {2} + 2^{x_{3}} \cdot \frac {3^{2}} {2^2} + 2^{x_{4}} \cdot \frac {3^{3}} {2^3} + ... + 2^{x_{y-1}} \cdot \frac {3^{y-1}} {2^{y-1}} \cdot 2^{y-1}} {2^{x+y}-3^{y}}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{y-1} \in \left[ 0,x \right]}\)
\(\displaystyle{ x_{1} \ge x_{2} \ge x_{3} \ge ... \ge x_{n}}\)
Można utworzyć:
\(\displaystyle{ \frac {y} {y+x} \binom{y+x}{x}}\)
rozwiązań tego równania. Liczby z mianownika w większości przypadków okazują się być niepodzielne przez \(\displaystyle{ {2^{x+y}-3^{y}}\). Jednak jeżeli możemy znaleźć takie wartości \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ x}\), że rozwinięcie dziesiętne:
\(\displaystyle{ \sqrt[y]{x+y}}\)
będzie dawało dowolną ilość zer po liczbie \(\displaystyle{ 3}\), to rozpatrując już choćby minimum tego równania, upraszczające się do wzoru (wszystkie \(\displaystyle{ x_{k}}\) równe zero):
\(\displaystyle{ 3^{y}-2^{y}}\)
wychodzi, że \(\displaystyle{ \frac {3^{y}-2^{y}} {2^{y+x}-3^{y}}}\) dąży do nieskończoności. Sugerowałoby to, że prawdopodobne jest, że dla pewnych dużych parametrów podzielność zajdzie dla którejś kombinacji równania.
Sądzicie, że da się to wykazać jakoś bardziej formalnie? Czy to chybione rozumowanie?