Najbliższa potęga i chińskie twierdzenie

[stdstringclass]

Witam

Mam dwa zagadnienia:

1) Jak wybrać największą potęgę przy najmniejszej reszcie
Liczba: \(\displaystyle{ 10}\);
Najbliższa potęga: \(\displaystyle{ 2^3 + 2}\) reszty

Liczba: \(\displaystyle{ 1356}\);
Najbliższa potęga: \(\displaystyle{ 11^3 + 25}\) reszty
ale równie dobrze może być \(\displaystyle{ 12^3 - 372 (1728-372=1356)}\)

a dla liczby np: \(\displaystyle{ 545683746538737638764278342242347868379}\). Jak wybrać podstawę potęgi tak by reszta była możliwie najmniejsza ?

2) Chińskie twierdzenie o resztach
Chińskie twierdzenie o resztach ma wiele zastosowań. W rzeczywistości chińscy generałowie stosowali je do sprawdzania liczby swoich żołnierzy, wydając kolejno rozkazy: W dwuszeregu zbiórka! W 3-szeregu zbiórka! W 5-szeregu zbiórka! i kontynuowali w ten sposób, obliczając za każdym razem tylko resztę, czyli liczbę żołnierzy w ostatniej niepełnej kolumnie.

Ktoś umiałby może wytłumaczyć to na przykładzie ? Oczami generała.