Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n \in \NN}\) istnieją różne od zera liczby całkowite \(\displaystyle{ x , y , z}\)
takie, że \(\displaystyle{ 2x^2+3y^2 =nz^2}\) ?
Ukryta treść:
Wyznaczyć najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) dla którego takie liczby nie istnieją
Ostatnio zmieniony 29 mar 2016, o 12:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
Dowód że dla \(\displaystyle{ n=1}\) takie liczby nie istnieją:
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ 2x^{2}+3y^{2}=z^{2}}\)
Bez utraty ogólności można założyć, że któraś z liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) (gdyby wszystkie były można równość do skutku dzielić przez \(\displaystyle{ 9}\)). Mozliwe są \(\displaystyle{ 3}\) sytuacje:
1. \(\displaystyle{ 3 \nmid x}\). Wówczas \(\displaystyle{ 2x^{2}+3y^{2} \equiv 2 \pmod{3}}\). Jednak kwadrat liczby nie może przystawać do \(\displaystyle{ 2}\) modulo \(\displaystyle{ 3}\). W tym przypadku rozwiązań nie ma.
2. \(\displaystyle{ 3 \nmid z}\). Wówczas \(\displaystyle{ z^{2} \equiv 1 \pmod{3}}\), natomiast \(\displaystyle{ 2x^{2}+3y^{2} \equiv 0,2 \pmod{3}}\). Zatem i tutaj rozwiązań nie ma.
3. \(\displaystyle{ 3 \nmid y}\). Mamy \(\displaystyle{ 3y^{2} = z^{2}-2x^{2}}\). Prawa strona musi się dzielic przez \(\displaystyle{ 3}\), więc nie ma innej możliwości, obie liczby \(\displaystyle{ x,z}\) dzielą się przez \(\displaystyle{ 3}\). Stąd prawa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ 9}\), stąd \(\displaystyle{ 3|y^{2}}\), więc \(\displaystyle{ 3|y}\). A to jest sprzeczność. Więc i w tej sytuacji nie ma rozwiązań.
Wobec tego takie liczby nie istnieją.
