Dowód nierówności

pasjonatka · Post autor: **pasjonatka** » 20 mar 2016, o 17:25

Udowodnij że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}<1+\sin(\frac{5\pi}{12})}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 mar 2016, o 17:33

Z nierówności Bernoulliego jest \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}\le 1+ \frac{5}{6}}\). Wystarczy przeto pokazać, że \(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{12}> \frac{5}{6}}\). Ale ja miałem w grupie "starszaków" w przedszkolu fakcik, że \(\displaystyle{ \sin \frac{5\pi}{12}= \frac{ \sqrt{6}+\sqrt{2} }{4}}\) (jak nie znasz, to zawsze można wyliczyć ze wzoru na sinus sumy) i dalej wiadomo.

pasjonatka · Post autor: **pasjonatka** » 20 mar 2016, o 17:36

Akurat wyprowadziłam sobie \(\displaystyle{ \sin(\frac{5\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}\)-- 20 mar 2016, o 18:40 --I jak już pokażę że \(\displaystyle{ \sin(\frac{5\pi}{12})>\frac{5}{6}}\) to dalej udowadniam indukcyjnie nierówność Bernoulliego?

SidCom · Post autor: **SidCom** » 20 mar 2016, o 18:15

Drobna ale istotna poprawka:

Z nierówności Bernoulliego:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}\le 1+ \frac{5}{6n}}\)

i stąd :

\(\displaystyle{ 1+\frac{5}{6n} < 1+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \rightarrow n > \frac{10}{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}\)

i prawa strona mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 mar 2016, o 18:20

SidCom, niestety myli się Pan, było poprawnie. Proszę spojrzeć na to, jaką formę ma nierówność Bernoulliego:

Aczkolwiek w ten sposób (tylko to nie jest Bernoulli, a proste szacowanie \(\displaystyle{ y^{\frac 1 n} \le y}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1, y \ge 1}\)) można wykazać tę nierówność bardziej elementarnie.

pasjonatka · Post autor: **pasjonatka** » 20 mar 2016, o 18:21

A skąd się wzięło to:
\(\displaystyle{ 1+\frac{5}{6n} < 1+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\)

SidCom · Post autor: **SidCom** » 20 mar 2016, o 18:23

wiem, wiem zagalopowałem się...

pasjonatka · Post autor: **pasjonatka** » 20 mar 2016, o 18:27

No to jak mam to zrobić? Udowodnić później tą nierówność Bernoulliego?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 mar 2016, o 18:37

Tak, należy udowodnić tę nierówność Bernoulliego.
Dla wykładnika \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\) (tj. w formie \(\displaystyle{ (1+t)^{n} \ge 1+nt}\)) wystarczy dowód indukcyjny (wtedy zwrot nierówności jest przeciwny, zobacz na stronie, do której link wyżej podałem), a od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) można przejść tak: gdy \(\displaystyle{ x>-1, n \ge 1}\), to
\(\displaystyle{ \left( 1+x\right)^{\frac 1 n} \le 1+ \frac{x}{n} \Leftrightarrow 1+x \le\left( 1+\frac x n\right)^{n}}\) - po prostu podnosimy stronami do potęgi \(\displaystyle{ n}\). Otrzymalismy nierówność, która jest prawdziwa na mocy nierówności Bernoulliego dla \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\) (bierzemy \(\displaystyle{ t:=\frac x n}\))

pasjonatka · Post autor: **pasjonatka** » 20 mar 2016, o 18:54

Udowodniłam \(\displaystyle{ \sin(\frac{5\pi}{12})>\frac{5}{6}}\)
I teraz z nierówności Bernoulliego otrzymuję?-- 20 mar 2016, o 19:56 --Nie wiem jaki krok zrobić dalej...

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 mar 2016, o 19:02

To chyba w ogóle niezbyt rozumiesz, co się tutaj dzieje.
Masz dowód nierówności Bernoulliego, z której wynika, że
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}} \le 1+ \frac{1}{n} \cdot \frac{5n}{6}=1+\frac 5 6}\)
Pokazałaś, że \(\displaystyle{ \sin \left(\frac{5\pi}{12}\right)>\frac{5}{6}}\).
Wobec tego, jako że \(\displaystyle{ (a \le b \wedge b \le c) \Rightarrow a \le c}\) (tj. z przechodniości nierówności), otrzymujesz \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}<1+\sin \left(\frac{5\pi}{12}\right)}\), a to jest teza.