Dowód dla liczb naturalnych
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 2 kwie 2015, o 10:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Wykaż że każda liczba naturalna jest równa wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 4k+7l}\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\).
Próbowałam to zrobić na indukcję zupełną i udowodniłam że dla \(\displaystyle{ n=1}\) równość jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ k=-2, l=1}\) i teraz nie wiem jak dalej ruszyć..
Próbowałam to zrobić na indukcję zupełną i udowodniłam że dla \(\displaystyle{ n=1}\) równość jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ k=-2, l=1}\) i teraz nie wiem jak dalej ruszyć..
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Niech \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Wtedy \(\displaystyle{ n=8n-7n=4\cdot 2n+7\cdot (-n)}\), czyli wystarczy wziąć \(\displaystyle{ k=2n, l=-n}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 2 kwie 2015, o 10:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Tak. Co innego, gdybyś miała polecenie "wykaż indukcyjnie".
Ale oczywiście indukcyjnie też można. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) wystarczy wziąć \(\displaystyle{ k=2, l=-1}\) i działa.
Teraz założymy, że pewne naturalne \(\displaystyle{ m}\) da się przedstawić w takiej postaci i pokażemy, że z tego wynika również możliwość przedstawienia \(\displaystyle{ m+1}\) w postaci takiej sumy.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ m=4k_{1}+7l_{1}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k_{1},l_{1}}\) całkowitych. Wobec tego \(\displaystyle{ m+1=4k_{1}+7l_{1}+1=4(k_{1}+2)+7(l_{1}-1)}\) (w pewien sposób korzystamy tu z rozpisania dla pierwszego kroku indukcyjnego) i oczywiście skoro liczby \(\displaystyle{ k_{1},l_{1}}\) są całkowite, to takie też są \(\displaystyle{ k_{1}+2}\) oraz \(\displaystyle{ l_{1}-1}\). to kończy drugi krok indukcyjny, no i dalej wiadomo, magiczne formułki.
Ale oczywiście indukcyjnie też można. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) wystarczy wziąć \(\displaystyle{ k=2, l=-1}\) i działa.
Teraz założymy, że pewne naturalne \(\displaystyle{ m}\) da się przedstawić w takiej postaci i pokażemy, że z tego wynika również możliwość przedstawienia \(\displaystyle{ m+1}\) w postaci takiej sumy.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ m=4k_{1}+7l_{1}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k_{1},l_{1}}\) całkowitych. Wobec tego \(\displaystyle{ m+1=4k_{1}+7l_{1}+1=4(k_{1}+2)+7(l_{1}-1)}\) (w pewien sposób korzystamy tu z rozpisania dla pierwszego kroku indukcyjnego) i oczywiście skoro liczby \(\displaystyle{ k_{1},l_{1}}\) są całkowite, to takie też są \(\displaystyle{ k_{1}+2}\) oraz \(\displaystyle{ l_{1}-1}\). to kończy drugi krok indukcyjny, no i dalej wiadomo, magiczne formułki.
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 2 kwie 2015, o 10:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Aha ok dzięki a może wiesz jak udowodnić taką nierówność dla liczb naturalnych.
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}<1+\sin(\frac{5\pi}{12})}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}<1+\sin(\frac{5\pi}{12})}\)
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Dowód dla liczb naturalnych
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{5}{6}\pi\right) =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=a>\frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ (1+a)^n=1+na+...}\)
\(\displaystyle{ \left( \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}\right) ^n=1+\frac{5n}{6}}\)
\(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\) cbdo
\(\displaystyle{ (1+a)^n=1+na+...}\)
\(\displaystyle{ \left( \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}\right) ^n=1+\frac{5n}{6}}\)
\(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\) cbdo
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 2 kwie 2015, o 10:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Czyli w skrócie obie strony podnosimy do potęgi \(\displaystyle{ n}\) w celu pozbycia się pierwiastków?
Możemy to uczynić, bo obie strony są dodatnie.
I dochodzimy do tego co było na początku pokazane że \(\displaystyle{ \frac{5}{6}<\sin(\frac{5\pi}{12})}\)
Możemy to uczynić, bo obie strony są dodatnie.
I dochodzimy do tego co było na początku pokazane że \(\displaystyle{ \frac{5}{6}<\sin(\frac{5\pi}{12})}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 2 kwie 2015, o 10:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Nic nie szkodzi
Tylko nie za bardzo wiem dlaczego w ostatnim kroku:
\(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\)
Jest lewa strona skrócona...
Tylko nie za bardzo wiem dlaczego w ostatnim kroku:
\(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\)
Jest lewa strona skrócona...
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 2 kwie 2015, o 10:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Oj chodziło mi o prawą. Czyli po podniesieniu do potęgi otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1+\frac{5n}{6}<(1+a)^{n}}\)
\(\displaystyle{ 1+\frac{5n}{6}<(1+a)^{n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Wskazówka: w wyrażeniu \(\displaystyle{ 1+na<(1+a)^n}\) symbol \(\displaystyle{ a}\) po obu stronach oznacza tę samą liczbę.
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 2 kwie 2015, o 10:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Wiem... Tylko nie bardzo łapię dlaczego z tego \(\displaystyle{ 1+\frac{5n}{6}<(1+a)^{n}}\) robi się to \(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\)a4karo pisze:Wskazówka: w wyrażeniu \(\displaystyle{ 1+na<(1+a)^n}\) symbol \(\displaystyle{ a}\) po obu stronach oznacza tę samą liczbę.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Dowód dla liczb naturalnych
Niestety, niczego nie łapiesz: Jak z lewej strony zamiast \(\displaystyle{ a}\) piszesz np. \(\displaystyle{ 5/6}\), to z drugiej strony też musisz to zrobić
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Dowód dla liczb naturalnych
\(\displaystyle{ \frac{5}{6}<a\quad \rightarrow \quad 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\)pasjonatka pisze: nie bardzo łapię dlaczego z tego \(\displaystyle{ 1+\frac{5n}{6}<(1+a)^{n}}\) robi się to \(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\)
\(\displaystyle{ 1+n\cdot a<(1+a)^n\quad \rightarrow\quad 1+\frac{5n}{6}<(1+a)^n}\)