Dowód dla liczb naturalnych

[pasjonatka]

Wykaż że każda liczba naturalna jest równa wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 4k+7l}\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\).

Próbowałam to zrobić na indukcję zupełną i udowodniłam że dla \(\displaystyle{ n=1}\) równość jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ k=-2, l=1}\) i teraz nie wiem jak dalej ruszyć..

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Wtedy \(\displaystyle{ n=8n-7n=4\cdot 2n+7\cdot (-n)}\), czyli wystarczy wziąć \(\displaystyle{ k=2n, l=-n}\)

[pasjonatka]

Czyli można się obejść w tym przypadku bez indukcji?

[Premislav]

Tak. Co innego, gdybyś miała polecenie "wykaż indukcyjnie".

Ale oczywiście indukcyjnie też można. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) wystarczy wziąć \(\displaystyle{ k=2, l=-1}\) i działa.
Teraz założymy, że pewne naturalne \(\displaystyle{ m}\) da się przedstawić w takiej postaci i pokażemy, że z tego wynika również możliwość przedstawienia \(\displaystyle{ m+1}\) w postaci takiej sumy.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ m=4k_{1}+7l_{1}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k_{1},l_{1}}\) całkowitych. Wobec tego \(\displaystyle{ m+1=4k_{1}+7l_{1}+1=4(k_{1}+2)+7(l_{1}-1)}\) (w pewien sposób korzystamy tu z rozpisania dla pierwszego kroku indukcyjnego) i oczywiście skoro liczby \(\displaystyle{ k_{1},l_{1}}\) są całkowite, to takie też są \(\displaystyle{ k_{1}+2}\) oraz \(\displaystyle{ l_{1}-1}\). to kończy drugi krok indukcyjny, no i dalej wiadomo, magiczne formułki.

[pasjonatka]

Aha ok dzięki a może wiesz jak udowodnić taką nierówność dla liczb naturalnych.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}<1+\sin(\frac{5\pi}{12})}\)

[kinia7]

\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{5}{6}\pi\right) =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=a>\frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ (1+a)^n=1+na+...}\)
\(\displaystyle{ \left( \sqrt[n]{1+\frac{5n}{6}}\right) ^n=1+\frac{5n}{6}}\)
\(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\) cbdo

[pasjonatka]

Czyli w skrócie obie strony podnosimy do potęgi \(\displaystyle{ n}\) w celu pozbycia się pierwiastków?
Możemy to uczynić, bo obie strony są dodatnie.
I dochodzimy do tego co było na początku pokazane że \(\displaystyle{ \frac{5}{6}<\sin(\frac{5\pi}{12})}\)

[kinia7]

dokładnie, tylko źle wpisałam argument sinusa

[pasjonatka]

Nic nie szkodzi
Tylko nie za bardzo wiem dlaczego w ostatnim kroku:
\(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\)
Jest lewa strona skrócona...

[kinia7]

lewa strona to wyrażenie podpierwiastkowe
a prawa to \(\displaystyle{ 1+na<(1+a)^n}\)

[pasjonatka]

Oj chodziło mi o prawą. Czyli po podniesieniu do potęgi otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1+\frac{5n}{6}<(1+a)^{n}}\)

[a4karo]

Wskazówka: w wyrażeniu \(\displaystyle{ 1+na<(1+a)^n}\) symbol \(\displaystyle{ a}\) po obu stronach oznacza tę samą liczbę.

[pasjonatka]

Wskazówka: w wyrażeniu \(\displaystyle{ 1+na<(1+a)^n}\) symbol \(\displaystyle{ a}\) po obu stronach oznacza tę samą liczbę.

Wiem... Tylko nie bardzo łapię dlaczego z tego \(\displaystyle{ 1+\frac{5n}{6}<(1+a)^{n}}\) robi się to \(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\)

[a4karo]

Niestety, niczego nie łapiesz: Jak z lewej strony zamiast \(\displaystyle{ a}\) piszesz np. \(\displaystyle{ 5/6}\), to z drugiej strony też musisz to zrobić

[kinia7]

nie bardzo łapię dlaczego z tego \(\displaystyle{ 1+\frac{5n}{6}<(1+a)^{n}}\) robi się to \(\displaystyle{ 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\)

\(\displaystyle{ \frac{5}{6}<a\quad \rightarrow \quad 1+n\cdot\frac{5}{6}<1+n\cdot a}\)
\(\displaystyle{ 1+n\cdot a<(1+a)^n\quad \rightarrow\quad 1+\frac{5n}{6}<(1+a)^n}\)