Dzielniki liczby.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
natinet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 19 mar 2016, o 18:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Dzielniki liczby.

Post autor: natinet »

Liczba \(\displaystyle{ p>3}\) jest pierwsza. Wypisać jak najwięcej dzielników liczby \(\displaystyle{ 81^{p^{2}}-1}\).

Z góry dziękuje za pomoc
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Dzielniki liczby.

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ 81^{p^{2}}=3^{4p^{2}}}\)
Zatem liczba z zadania to \(\displaystyle{ (3^{p^{2}}-1)(3^{p^{2}}+1)(3^{2p^{2}}+1)}\) (wzory skróconego mnożenia). Możemy to pociągnąć o wiele dalej, bo
\(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b) \sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}}\), a także
\(\displaystyle{ a^{n}+b^{n}=(a+b) \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}}\)
gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste (oczywiście \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p^{2}}\) jest nieparzyste)
Wskazówka: \(\displaystyle{ 3^{p^{2}}=(3^{p})^{p}}\) oraz \(\displaystyle{ 1=1^{p}, 3^{2p^{2}}=9^{p^{2}}=(9^{p})^{p}}\) etc.
ODPOWIEDZ