Liczba \(\displaystyle{ p>3}\) jest pierwsza. Wypisać jak najwięcej dzielników liczby \(\displaystyle{ 81^{p^{2}}-1}\).
Z góry dziękuje za pomoc
Dzielniki liczby.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Dzielniki liczby.
\(\displaystyle{ 81^{p^{2}}=3^{4p^{2}}}\)
Zatem liczba z zadania to \(\displaystyle{ (3^{p^{2}}-1)(3^{p^{2}}+1)(3^{2p^{2}}+1)}\) (wzory skróconego mnożenia). Możemy to pociągnąć o wiele dalej, bo
\(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b) \sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}}\), a także
\(\displaystyle{ a^{n}+b^{n}=(a+b) \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}}\)
gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste (oczywiście \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p^{2}}\) jest nieparzyste)
Wskazówka: \(\displaystyle{ 3^{p^{2}}=(3^{p})^{p}}\) oraz \(\displaystyle{ 1=1^{p}, 3^{2p^{2}}=9^{p^{2}}=(9^{p})^{p}}\) etc.
Zatem liczba z zadania to \(\displaystyle{ (3^{p^{2}}-1)(3^{p^{2}}+1)(3^{2p^{2}}+1)}\) (wzory skróconego mnożenia). Możemy to pociągnąć o wiele dalej, bo
\(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b) \sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}}\), a także
\(\displaystyle{ a^{n}+b^{n}=(a+b) \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}}\)
gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste (oczywiście \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p^{2}}\) jest nieparzyste)
Wskazówka: \(\displaystyle{ 3^{p^{2}}=(3^{p})^{p}}\) oraz \(\displaystyle{ 1=1^{p}, 3^{2p^{2}}=9^{p^{2}}=(9^{p})^{p}}\) etc.