Reszta z dzielenia

[natinet]

Niech \(\displaystyle{ p \ge 5}\) (p-liczba pierwsza). Wyznaczyć reszty z dzielenia następujących liczb przez p
a)\(\displaystyle{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2p-2)}\)
b) \(\displaystyle{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2p-1)}\)

Z góry dziękuje za pomoc

[Premislav]

a) \(\displaystyle{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2p-2)=2^{p-1}\cdot (p-1)!}\). Z Małego Twierdzenia Fermata \(\displaystyle{ 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p}}\) gdy \(\displaystyle{ p>2}\) jest pierwsza, a ponadto z twierdzenia Wilsona \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ (p-1)!+1}\), więc \(\displaystyle{ (p-1)!\equiv p-1\pmod{p}}\)

[natinet]

Dziękuje, rozumiem -- 19 mar 2016, o 19:29 --

a) \(\displaystyle{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2p-2)=2^{p-1}\cdot (p-1)!}\). Z Małego Twierdzenia Fermata \(\displaystyle{ 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p}}\) gdy \(\displaystyle{ p>2}\) jest pierwsza, a ponadto z twierdzenia Wilsona \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ (p-1)!+1}\), więc \(\displaystyle{ (p-1)!\equiv p-1\pmod{p}}\)

Czy analogicznie można zrobić podpunkt b) ?
Ile będzie równe \(\displaystyle{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2p-1)}\) ?

[Premislav]

b) skoro \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą nie mniejszą niż \(\displaystyle{ 5}\), to w iloczynie \(\displaystyle{ 1\cdot 3\cdot...\cdot (2p-1)}\) występuje \(\displaystyle{ p}\), bo ten iloczyn jest zbudowany ze wszystkich liczb całkowitych dodatnich nieparzystych, które są nie większe od \(\displaystyle{ 2p-1}\), liczby pierwsze większe od dwójki są nieparzyste, a \(\displaystyle{ 2p-1>p}\), więc reszta z dzielenia tego iloczynu przez \(\displaystyle{ p}\) to jest zero.