Podzielność przez 24

[natinet]

Uzasadnij, że poniższe liczby są podzielne przez 24
a) \(\displaystyle{ 6^{2016}}\)
b) \(\displaystyle{ 2 \cdot (3 ^{2001}+2001)}\).

Z góry dziękuje

[Gouranga]

\(\displaystyle{ 6^{24} = \left(6^3\right)^8 = 216^8 = 9^8 \cdot 24^8}\)

[Premislav]

b) wystarczy uzasadnić podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\) i przez \(\displaystyle{ 8}\), bo \(\displaystyle{ (3,8)=1}\) i \(\displaystyle{ 3\cdot 8=24}\). Podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\): \(\displaystyle{ 3^{2001}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 2001=3\cdot 667}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), suma liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Podzielność przez 8: wystarczy oczywiście pokazać, że \(\displaystyle{ 4}\) dzieli \(\displaystyle{ 3^{2001}+2001}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 2000=4\cdot 500}\), więc \(\displaystyle{ 2001}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\). Ponadto \(\displaystyle{ 3^{2}=9}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\), więc \(\displaystyle{ 3^{2001}=3\cdot (9^{1000})}\) daje resztę \(\displaystyle{ 3\cdot 1=3}\) z dzielenia przez cztery. Stąd \(\displaystyle{ 3^{2001}+2001}\) daje resztę taką, jak \(\displaystyle{ 3+1=4}\) z dzielenia przez cztery, czyli resztę zero, czyli \(\displaystyle{ 3^{2001}+2001}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\).

[natinet]

Pomyliłam się w treści zadania powinno być \(\displaystyle{ 6^{2016}}\) .

P.S. \(\displaystyle{ 6^{3}=216}\)

[Premislav]

No ale to i tak wystarcza to, co napisał Gouranga, bo \(\displaystyle{ 2016=24\cdot 84}\)