Równania z dwiema niewiadomymi

pryk728 · Post autor: **pryk728** » 15 mar 2016, o 18:20

Cześć, mam problem z rozwiązaniem takiej równości:
\(\displaystyle{ 5a^2-4b^2=1}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) mają być rozwiązaniami naturalnymi.
Czy mogę tutaj skorzystać z równań Pella?
Jeśli tak to jak to zrobić...? (krok po kroku nalepiej )

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 15 mar 2016, o 19:47

\(\displaystyle{ 4a^2 - 4b^2 = 1 - a^2 \\
4(a-b)(a+b) = (1-a)(1+a)}\)

Być może to pomoże.

pryk728 · Post autor: **pryk728** » 15 mar 2016, o 20:13

A znalazłam jeszcze takie coś.
Para takich ciągów spełnia to równanie dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\), gdzie
\(\displaystyle{ a_0=b_0=1}\)
\(\displaystyle{ a_n=10b_{n-1}+9a_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ b_n=9b_{n-1}+8a_{n-1}}\).

Ale jak wyznaczyć te ciągi? Chyba z równań Pella ... ale w jaki sposób?

Post autor: **Zahion** » 15 mar 2016, o 20:23

Niech \(\displaystyle{ d = 2b}\)
mamy wtedy, że
\(\displaystyle{ d^{2} -5a^{2} = - 1}\)
A to jest lekko zmodyfikowane, ale znane równanie Pella.

pryk728 · Post autor: **pryk728** » 15 mar 2016, o 20:39

hm i tak nadal nie wiem co z tym zrobić...
jak wytłumaczyć, że te ciągi a nie inne