Liczba doskonała oraz równość

[blazy11]

Witam

Mam problem z zadaniami:

Zad.1 Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ 2^{p}-1}\) są pierwsze, to liczba \(\displaystyle{ 2^{p-1}( 2^{p} -1)}\) jest doskonała.

Zad. 2 Udowodnić, że nie ma takich liczb naturalnych \(\displaystyle{ a,n \ge 1}\), dla których zachodziłaby równość \(\displaystyle{ (3a+1)(4a+1)= 5^{n}}\)

Dzięki za pomoc.

[Zahion]

w drugim oczywiście musi być \(\displaystyle{ 3a + 1 = 5^{x}}\) i \(\displaystyle{ 4a + 1 = 5^{y}}\), skąd \(\displaystyle{ a = 5^{y} - 5^{x}}\)

[Premislav]

Pierwsze też nietrudne, choć nie tak zwięzłe w zapisie. Dzielnikami właściwymi liczby
\(\displaystyle{ 2^{p-1}(2^{p}-1)}\) przy założeniach zadania są
\(\displaystyle{ 1,2,...2^{p-1}}\) oraz \(\displaystyle{ 2^{p}-1, 2(2^{p}-1),...2^{p-2}(2^{p}-1)}\)
Mamy \(\displaystyle{ 1+2+..+2^{p-1}={\red 2^{p}-1}}\) oraz \(\displaystyle{ 2^{p}-1+2(2^{p}-1)+...+2^{p-2}(2^{p}-1)={\blue (2^{p-1}-1)(2^{p}-1)}}\) ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Dodając czerwone i niebieskie, dostajemy \(\displaystyle{ 2^{p-1}(2^{p}-1)}\), czyli liczba
\(\displaystyle{ 2^{p-1}(2^{p}-1)}\) jest doskonała.

[blazy11]

Dzięki