Ciekawe równości

[karolcia_23]

Hej mam taką informacje do równania \(\displaystyle{ x^2+(x+1)=z^2}\).
Treść:
Jak znaleźć wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2}\) w liczbach naturalnych, gdzie \(\displaystyle{ x, y}\) są kolejnymi liczbami naturalnymi. Będą to rozwiązania właściwe, a jeżeli \(\displaystyle{ y}\) jest parzysty to może być \(\displaystyle{ x-y=1}\) lub \(\displaystyle{ y-x=1}\). W pierwszym przypadku, stosując wzory \(\displaystyle{ x=m^2-n^2 \quad y=2mn \quad z=m^2+n^2}\) , otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ m^2-n^2-2mn=-1}\). Pierwsze z tych równań jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ (m-n)^2-2n^2=1}\), drugie zaś równaniu \(\displaystyle{ (m-n)^2-2n^2=-1}\). Z twierdzenia że wszystkie rozwiązania są zawarte w ciągu nieskończonym, którego wyrazy są określone \(\displaystyle{ t_1=3 \quad u_1=2 \quad t_{n+1}=3t_n+4u_n \quad u_{n+1}=2t_n+3u_n}\) wynika, że wszystkie rozwiązania pierwszego równania w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ m,n \quad m>n}\) są zawarte w ciągu nieskończonym układów \(\displaystyle{ (t_k+u_k,u_k)(k=1,2,...)}\) gdzie \(\displaystyle{ t_k, u_k}\) są określane przez wzory \(\displaystyle{ t_1=3 \quad u_1=2 \quad t_{n+1}=3t_n+4u_n \quad u_{n+1}=2t_n+3u_n}\), wszystkie zaś rozwiązania drugiego równania w liczbach naturalnych, \(\displaystyle{ m,n}\) są zawarte w ciągu nieskończonym układów \(\displaystyle{ (x_k+y_k,y_k)}\) gdzie liczby \(\displaystyle{ x_k,y_k}\) sama określone przez wzory \(\displaystyle{ x_1=y_1=1 \quad x_{n+1}=3x_n+4y_n \quad y_{n+1}=2x_n+3y_n}\). W ten sposób dla \(\displaystyle{ k=1}\) ze wzorów \(\displaystyle{ t_1=3 \quad u_1=2 \quad t_{n+1}=3t_n+4u_n \quad u_{n+1}=2t_n+3u_n}\) otrzymujemy dla pierwszego przypadku rozwiązanie \(\displaystyle{ \red{21^2+20^2=29^2}}\), dla drugiego przypadku rozwiązanie \(\displaystyle{ \red{3^2+4^2=5^2}}\). Dla \(\displaystyle{ k=2}\) otrzymujemy rozwiązanie \(\displaystyle{ \red{697^2+696^2=985^2}}\) oraz \(\displaystyle{ \red{119^2+120^2=169^2}}\).
Skąd są te równości zaznaczone na czerwono? Proszę o pomoc.

[Elayne]

\(\displaystyle{ m, \ n \ \in \NN\\
\\
m^2 = \frac{z+x}{2}, \ n^2 = \frac{z-x}{2}\\
\Rightarrow z=m^2+n^2, \ x=m^2-n^2\\
\Rightarrow \left(\frac{y}{z}\right)^2 =m^2 n^2 \Rightarrow y=2mn\\
\Rightarrow (x,y,z)=(\underbrace{m^2-n^2}_{x}, \underbrace{2mn}_{y}, \underbrace{m^2+n^2}_{z})}\)

np.:\(\displaystyle{ m=1, n=2 \Rightarrow (3,4,5)}\)