Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n......

[mark939]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n i każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ {n \choose 1}x(1-x)^{n-1}+2 {n \choose 2}x ^{2}(1-x) ^{n-2}+3 {n \choose 3}x ^{3}(1-x) ^{n-3}+..........+n {n \choose n}x ^{n}=nx}\)

Próbowałem podstawiać i wzór działa potem podzieliłem przez nx i została 1 ale nie wiem jak wykazać że lewa strona równa się jej. Próbowałem jeszcze szukać jakiegoś ciągu i sumy ale bez sukcesów :'(

[Premislav]

To, co masz po lewej stronie, to jest
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ k {n \choose k}=n{n-1 \choose k-1}}\)
Wobec tegoż
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=n \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}x^{k}(1-x)^{n-k}=\\=nx \sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k-1}}\)
i użyj wzoru dwumianowego Newtona, by zwinąć tę sumę.
[to jest test, ciekawe, czy ktoś zareaguje, ale wątpię, skoro w 2013 ktoś - a nawet kilku ktosiów - na moim cudownym wydziale nie wiedział, co to znaczy "nie ma o co kruszyć kopii"; upadek dbałości o język zaszedł już tak daleko, że moja matka pisze w e-mailach 3-ci].

[mark939]

\(\displaystyle{ nx \sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k-1}=nx(1-x+x) ^{n-1}=nx \cdot 1 ^{n-1} =nx \cdot 1}\)
...i wtedy \(\displaystyle{ nx=nx}\)

Tak jak sugerowałeś użyłem wzoru Newtona, czy teraz jest dobrze ?

[Premislav]

Tak, jest dobrze.