Wykładnik a suma

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ n}\) będą liczbami naturalnymi, zaś \(\displaystyle{ p}\) będzie pierwsza. Czy jeśli \(\displaystyle{ 2^p+ 3^p = a^n}\) to \(\displaystyle{ n=1}\) ?

[Pinionrzek]

Ukryta treść:    

Tak, \(\displaystyle{ n=1}\). Niech \(\displaystyle{ v_p(m)}\) oznacza największą potęgę liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) dzielącą całkowitą liczbę \(\displaystyle{ m}\). Zauważmy po pierwsze, że \(\displaystyle{ p \neq 2}\). Korzystając teraz z Lifting the Exponent Lemma otrzymujemy, że \(\displaystyle{ k=v_5(2^p+3^p)=v_5(2+3)+v_5(p)=1+v_5(p)}\). Widzimy więc, że \(\displaystyle{ k=1}\) lub \(\displaystyle{ k=2}\). Jeżeli \(\displaystyle{ k=2}\), to \(\displaystyle{ p=5}\), więc \(\displaystyle{ a^2=2^5+3^5=275}\), co jest oczywiście niemożliwe.