Również z olimpiad czeskich.
1. Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 17^{19}+19^{17}}\) jest podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ 17+19}\).
2.Znaleźć wszystkie liczby całkowite x,y, które spełniają równanie
\(\displaystyle{ (3x+y)(x+y)=p}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.
2 zadania z teorii liczb
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
2 zadania z teorii liczb
Ad 1:
\(\displaystyle{ 19 \equiv -17 ( \mod 36) \\ 19^{17} \equiv (-17)^{17} = -17^{17} ( \mod 36) \\ 17^{19} + 19^{17} \equiv 17^{19} - 17^{17} =17^{17} ( 17^2 - 1)= 17^{17} 36 8 \equiv 0 ( \mod 36)}\)
\(\displaystyle{ 19 \equiv -17 ( \mod 36) \\ 19^{17} \equiv (-17)^{17} = -17^{17} ( \mod 36) \\ 17^{19} + 19^{17} \equiv 17^{19} - 17^{17} =17^{17} ( 17^2 - 1)= 17^{17} 36 8 \equiv 0 ( \mod 36)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: -----
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 26 razy
2 zadania z teorii liczb
co do drugiego. Jest tak, poniewaz liczba pierwsza dzieli sie tylko przez 1 i sama siebie, wiec moze byc przedstawiona jako iloczyc 1 i p lub -1 i -p.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
2 zadania z teorii liczb
bullay napisal:
\(\displaystyle{ x=\frac{p-1}{2} \ \ , y=\frac{3-p}{2}}\)
p>2 l. pierwsza etc,
I tak np gdy x+y=1 , 3x+y=p, otrzymasz zeco do drugiego. Jest tak, poniewaz liczba pierwsza dzieli sie tylko przez 1 i sama siebie, wiec moze byc przedstawiona jako iloczyc 1 i p lub -1 i -p.
\(\displaystyle{ x=\frac{p-1}{2} \ \ , y=\frac{3-p}{2}}\)
p>2 l. pierwsza etc,