Udowodnij twierdzenie

[ka79zik]

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dodatnią liczbą całkowitą \(\displaystyle{ r}\)-cyfrową daną jako \(\displaystyle{ A=\sum_{i=1}^{r} x_{i} 10^{i-1}}\) i zdefiniujmy \(\displaystyle{ D \left( A \right) = \left( \sum_{i=1}^{r} x_{i} \right) ^{2}}\). Przez \(\displaystyle{ D^{n} \left( A \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dodatnią liczbą całkowitą, rozumiemy wynik zastosowania operatora \(\displaystyle{ D}\), \(\displaystyle{ n}\) kolejnych razy na \(\displaystyle{ A}\).
Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ A}\) istnieje \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ D^{n} \left( A \right) =1}\) lub \(\displaystyle{ 81}\) lub \(\displaystyle{ 169}\).

np.: \(\displaystyle{ A=5}\), suma jej cyfr to \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ D(A)=25}\), suma jej cyfr to \(\displaystyle{ 7}\), \(\displaystyle{ D^{2}(A)=49}\), suma jej cyfr to \(\displaystyle{ 13}\), \(\displaystyle{ D^{3}(A)=169}\)

[Gouranga]

jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) to wyjdzie \(\displaystyle{ 81}\) zawsze, to proste, skoro \(\displaystyle{ A = 3k}\) to \(\displaystyle{ D(A) = 9l}\), bo suma cyfr \(\displaystyle{ A}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) więc jej kwadrat przez \(\displaystyle{ 9}\), skoro jej kwadrat jest podzielny przez \(\displaystyle{ 9}\) to suma jego cyfr też a jej kwadrat przez \(\displaystyle{ 81}\)

wynik \(\displaystyle{ 1}\) zdaje się, że wyjdzie tylko dla \(\displaystyle{ A = 1}\)

gorzej jest z liczbami niepodzielnymi przez \(\displaystyle{ 3}\)
jeśli \(\displaystyle{ A mod 3 = 1}\) to suma cyfr \(\displaystyle{ A}\) tak samo
\(\displaystyle{ A = 3k+1\\
D(A) = (3l+1)^2 = 9l^2 + 6l + 1 = 3(3l^2 + 2l) + 1\\}\)

i wracamy do punktu wyjścia-- 6 mar 2016, o 11:43 --poprawka, \(\displaystyle{ 1}\) wyjdzie nie tylko dla \(\displaystyle{ A=1}\), wyjdzie też jeśli na jakimkolwiek etapie suma cyfr będzie potęgą dziesiątki