Liczba \(\displaystyle{ N=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 25}\) jest iloczynem liczb naturalnych od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 25}\). Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ N}\) w systemie dziesiętnym kończy się sześcioma zerami.
Zadanie na poziomie matury podstawowej, ale nigdy czegoś takiego nie robiłem, więc nie wiem co czynić. Ktoś pomoże?
liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami
Każde \(\displaystyle{ 0}\) na końcu jest konsekwencją jednego czynnika podzielnego przez \(\displaystyle{ 10}\) lub iloczynu dwóch czynników, która jeden jest podzielny przez \(\displaystyle{ 2}\), a drugi przez \(\displaystyle{ 5}\).
liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami
No to możemy wypisać następujące pary:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 5\\4 \cdot 10\\6 \cdot 15\\8 \cdot 20\\14 \cdot 25}\)
Jest tylko 5 liczb podzielnych przez 5
\(\displaystyle{ 2 \cdot 5\\4 \cdot 10\\6 \cdot 15\\8 \cdot 20\\14 \cdot 25}\)
Jest tylko 5 liczb podzielnych przez 5
- Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami
No tak, ale \(\displaystyle{ 25 = 5 \cdot 5}\), czyli w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ N}\) na czynniki pierwsze pojawi się \(\displaystyle{ 6}\) piątek.
liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami
Rozumiem. A jak zapisać maturalnie poprawnie rozwiązanie? Bo zakładam, że samo wypisanie liczb nie wystarczy.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami
Stwierdzasz, że każde zero bierze się z iloczynu jednej dwójki i jednej piątki spośród dwójek i piątek występujących w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ N}\) na czynniki pierwsze (inaczej: sześć zer na końcu liczby jest równoważne z podzielnością liczby przez \(\displaystyle{ \(\displaystyle{ 10^6=2^6\cdot 5^6}\)}\)). Potem uzasadniasz, czemu w tym rozkładzie jest dokładnie sześć piątek, wreszcie stwierdzasz, że jest także przynajmniej sześć dwójek. Będzie zatem dokładnie sześć iloczynów \(\displaystyle{ 2\cdot 5}\), czyli sześć zer na końcu.
JK
JK