liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
vergil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 196
Rejestracja: 28 lis 2013, o 09:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ziemia

liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami

Post autor: vergil »

Liczba \(\displaystyle{ N=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 25}\) jest iloczynem liczb naturalnych od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 25}\). Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ N}\) w systemie dziesiętnym kończy się sześcioma zerami.

Zadanie na poziomie matury podstawowej, ale nigdy czegoś takiego nie robiłem, więc nie wiem co czynić. Ktoś pomoże?
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami

Post autor: SlotaWoj »

Każde \(\displaystyle{ 0}\) na końcu jest konsekwencją jednego czynnika podzielnego przez \(\displaystyle{ 10}\) lub iloczynu dwóch czynników, która jeden jest podzielny przez \(\displaystyle{ 2}\), a drugi przez \(\displaystyle{ 5}\).
Awatar użytkownika
vergil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 196
Rejestracja: 28 lis 2013, o 09:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ziemia

liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami

Post autor: vergil »

No to możemy wypisać następujące pary:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 5\\4 \cdot 10\\6 \cdot 15\\8 \cdot 20\\14 \cdot 25}\)
Jest tylko 5 liczb podzielnych przez 5
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami

Post autor: Chewbacca97 »

No tak, ale \(\displaystyle{ 25 = 5 \cdot 5}\), czyli w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ N}\) na czynniki pierwsze pojawi się \(\displaystyle{ 6}\) piątek.
Awatar użytkownika
vergil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 196
Rejestracja: 28 lis 2013, o 09:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ziemia

liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami

Post autor: vergil »

Rozumiem. A jak zapisać maturalnie poprawnie rozwiązanie? Bo zakładam, że samo wypisanie liczb nie wystarczy.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

liczba w systemie dziesiętnym kończy się 6 zerami

Post autor: Jan Kraszewski »

Stwierdzasz, że każde zero bierze się z iloczynu jednej dwójki i jednej piątki spośród dwójek i piątek występujących w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ N}\) na czynniki pierwsze (inaczej: sześć zer na końcu liczby jest równoważne z podzielnością liczby przez \(\displaystyle{ \(\displaystyle{ 10^6=2^6\cdot 5^6}\)}\)). Potem uzasadniasz, czemu w tym rozkładzie jest dokładnie sześć piątek, wreszcie stwierdzasz, że jest także przynajmniej sześć dwójek. Będzie zatem dokładnie sześć iloczynów \(\displaystyle{ 2\cdot 5}\), czyli sześć zer na końcu.

JK
ODPOWIEDZ