Udowodnić zdanie

[Dario1]

Przeprowadzić dowody poniższych twierdzeń, wskazać z jakicj reguł wnioskowania i jakich tautologii rachunku kwantyfikatorów korzysta się w kolejnych krokach dowodowych.

a)Każda liczba naturalna ma przynajmniej jeden dzielnik, który jest liczbą pierwszą.
b)Między dowolnymi dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje trzecia, różna od nich.

Nie wiem jak zrobić a). Co do b) to myślę, że jeśli weźmiemy dowolne \(\displaystyle{ a,b \in R}\) to między nimi będzie leżeć liczba \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\).

Zgadza się?

[Kartezjusz]

a)indukcja zupełna znana?
b)Pokaż,że ta liczba jest dobra.

[Premislav]

a) to nieprawda, rozważ \(\displaystyle{ n=1}\). Czy aby na pewno tak wygląda treść zadania?

[Dario1]

Wiem, że to nieprawda, ale tak wygląda treść zadania. Wydaje mi się, że należy pominąć tą jedynkę.

Co do pierwszego to czy trzeba korzystać z indukcji?

[Kartezjusz]

Dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) tak jest. Dla liczb pierwszych jest to prawda. Weźmy dowolną liczbę złożoną.
Zakładamy, że dla każdego \(\displaystyle{ m<n}\) teza jest prawdziwa. Skoro \(\displaystyle{ n}\) jest złożona, można przedstawić ją jako iloczyn liczb \(\displaystyle{ n=ab}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b<n}\). Dla każdej z nich tezę założyliśmy, czyli na mocy założenia i indukcji zupełnej mamy tezę.