Rzadkie rozwiązania pewnego równania diofantycznego

[matemix]

Szukam rozwiązań równania:

\(\displaystyle{ (2^{m}-p^{y}) \cdot n = \frac {p^{y}-2^{y}} {p-2}}\)

dla nieparzystych \(\displaystyle{ p>3}\) oraz pomijając \(\displaystyle{ p = 2^{z}-1}\).

Znalazłem dwa:

\(\displaystyle{ (2^{5}-5^{2}) \cdot 1 = \frac {5^{2}-2^{2}} {5-2}}\)

\(\displaystyle{ (2^{7}-5^{3}) \cdot 13 = \frac {5^{3}-2^{3}} {5-2}}\)

Inne jest bardzo trudno znaleźć. Czy istnieją inne? Czy jest ich nieskończenie wiele?

[Brombal]

Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) parzyste oraz \(\displaystyle{ m>y}\) to \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste
Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) parzyste oraz \(\displaystyle{ m<y}\) to stopień parzystości \(\displaystyle{ n}\) jest równy \(\displaystyle{ \left( y-m\right)}\)
nie istnieją rozwiązania dla \(\displaystyle{ p}\) parzystego i \(\displaystyle{ m=y}\)

Dla \(\displaystyle{ p}\) parzystego prawa strona równania jest stopnia \(\displaystyle{ y}\)
Dla \(\displaystyle{ p}\) nieparzystego prawa strona nieparzysta i \(\displaystyle{ n}\) również

[matemix]

Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) parzyste oraz \(\displaystyle{ m>y}\) to \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste
Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) parzyste oraz \(\displaystyle{ m<y}\) to stopień parzystości \(\displaystyle{ n}\) jest równy \(\displaystyle{ \left( y-m\right)}\)
nie istnieją rozwiązania dla \(\displaystyle{ p}\) parzystego i \(\displaystyle{ m=y}\)

Dla \(\displaystyle{ p}\) parzystego prawa strona równania jest stopnia \(\displaystyle{ y}\)
Dla \(\displaystyle{ p}\) nieparzystego prawa strona nieparzysta i \(\displaystyle{ n}\) również

\(\displaystyle{ p}\) parzyste w ogóle mnie nie interesują. Natomiast dla \(\displaystyle{ p}\) nieparzystych oczywiście \(\displaystyle{ n}\) musi być także nieparzyste, nie doprecyzowywałem tego, bo wydaje mi się to oczywiste.

Dodam, że jeśli chodzi o wyrażenie:

\(\displaystyle{ \frac {p^{y}-2^{y}} {2^{m}-p^{y}}}\)

To dla dowolnego \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) łatwo uzyskać wynik \(\displaystyle{ -1}\), gdy \(\displaystyle{ m=y}\). Przy innych parametrach \(\displaystyle{ m}\) całkowite rozwiązania wydają się nie występować, ale przykładowo dla:

\(\displaystyle{ \frac {91^{2}-2^{2}} {2^{13}-91^{2}} = -93}\)

ni stąd, ni zowąd otrzymujemy \(\displaystyle{ -93}\). Nie wiadomo, czy dla jakichś nieznanych parametrów nie otrzymamy wyniku dodatniego i to podzielnego przez \(\displaystyle{ p-2}\).

[pasman]

jeśli chodzi o wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{p^y-2^y}{2^m-p^y}}\)

wygląda na to że ma ono całkowitych wartości nieskończenie wiele już dla y=2.
można je sprowadzić do równania

\(\displaystyle{ 2^{m-2} = 1 |p-2}\)

[matemix]

jeśli chodzi o wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{p^y-2^y}{2^m-p^y}}\)

wygląda na to że ma ono całkowitych wartości nieskończenie wiele już dla y=2.
można je sprowadzić do równania

\(\displaystyle{ 2^{m-2} = 1 |p-2}\)

Czyli jakie będą rozwiązania np. dla \(\displaystyle{ p=11}\), \(\displaystyle{ p=13}\), \(\displaystyle{ p=19}\)?