Dowód, że suma potęg 1,5 i 4,5 nie będzie liczbą naturalną

matemix · Post autor: **matemix** » 9 lut 2016, o 18:27

Zastanawiam się czy suma \(\displaystyle{ 1,5^{y}+4,5^{y}}\) może być liczbą naturalną poza przypadkiem \(\displaystyle{ y=1}\). \(\displaystyle{ y}\) to liczby naturalne.

Z tego co zaważyłem dla \(\displaystyle{ y}\) parzystych:

\(\displaystyle{ 3^{y}+9^{y} \equiv 0 \pmod{2}}\)

oraz dla \(\displaystyle{ y}\) nieparzystych:

\(\displaystyle{ 3^{y}+9^{y} \equiv 0 \pmod{4}}\)

Jak to udowodnić?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 9 lut 2016, o 19:23

Musisz mieć \(\displaystyle{ 3^y+9^y=2^yk}\), tzn. \(\displaystyle{ 3^y|k}\), więc \(\displaystyle{ k=3^ym}\), gdzie \(\displaystyle{ 3\not{|}m}\) - dlaczego? Pozostaje \(\displaystyle{ 1+3^y=2^ym}\). Dla \(\displaystyle{ y=1,2}\) możesz sprawdzić bezpośrednio, dla \(\displaystyle{ y\ge 3}\) sprawdź przystawanie stron modulo osiem.

matemix · Post autor: **matemix** » 9 lut 2016, o 21:20

bosa_Nike pisze:Musisz mieć \(\displaystyle{ 3^y+9^y=2^yk}\), tzn. \(\displaystyle{ 3^y|k}\), więc \(\displaystyle{ k=3^ym}\), gdzie \(\displaystyle{ 3\not{|}m}\) - dlaczego? Pozostaje \(\displaystyle{ 1+3^y=2^ym}\). Dla \(\displaystyle{ y=1,2}\) możesz sprawdzić bezpośrednio, dla \(\displaystyle{ y\ge 3}\) sprawdź przystawanie stron modulo osiem.

Dla parzystych \(\displaystyle{ y\ge 3}\) mamy zawsze resztę 2, a dla nieparzystych 4. To kończy dowód?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 9 lut 2016, o 21:31

No to wyszło, że strony nie przystają, prawda? O ile nie dopuszczasz \(\displaystyle{ y=0}\), to masz tylko jedno rozwiązanie.

matemix · Post autor: **matemix** » 9 lut 2016, o 21:35

bosa_Nike pisze:No to wyszło, że strony nie przystają, prawda? O ile nie dopuszczasz \(\displaystyle{ y=0}\), to masz tylko jedno rozwiązanie.

Tak.

matemix · Post autor: **matemix** » 7 kwie 2016, o 17:37

Mam jeszcze jedno pytanie do tych dowodów. Chyba trochę naiwne.

bosa_Nike pisze:Pozostaje \(\displaystyle{ 1+3^y=2^ym}\). Dla \(\displaystyle{ y=1,2}\) możesz sprawdzić bezpośrednio, dla \(\displaystyle{ y\ge 3}\) sprawdź przystawanie stron modulo osiem.

Dlaczego przystawanie stron modulo osiem kończy dowód. Tzn. skąd wiadomo, że dla dowolnych y-greków strony będą przystawać? Czy nie trzeba tu sprawdzić np. pierwszych trzech przypadków, a resztę z dowodu indukcyjnego?

Dlaczego nie można od razu sprawdzić przystawania modulo zero dla

\(\displaystyle{ y}\) parzystych:

\(\displaystyle{ 3^{y}+9^{y} \equiv 0 \pmod{2}}\)

oraz dla \(\displaystyle{ y}\) nieparzystych:

\(\displaystyle{ 3^{y}+9^{y} \equiv 0 \pmod{4}}\)