Dowód niewymierności
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 7 lip 2015, o 17:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wielkopolska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 4 razy
Dowód niewymierności
Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to \(\displaystyle{ \sqrt{n}+ \sqrt{n+1}}\) jest liczbą niewymierną.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Dowód niewymierności
Załóż, że jest równa \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) co powiesz o tej samej liczbie, ale z minusem?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Dowód niewymierności
Gdyby \(\displaystyle{ \sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\) była wymierna, to jej odwrotność, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\) też byłaby wymierna. Ponadto suma liczb wymiernych też jest wymierna. Rozwiń to w dowód nie wprost.
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 7 lip 2015, o 17:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wielkopolska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 4 razy
Dowód niewymierności
Zakładam, że \(\displaystyle{ 2 \sqrt{n+1}}\) jest liczbą wymierną. Poprowadzenie tego dowodu dalej podobnie jak dowodu niewymierności\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) będzie dobrym rozwiązaniem? (\(\displaystyle{ 2 \sqrt{n+1}= \frac{p}{q}}\))
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 7 lip 2015, o 17:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wielkopolska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 4 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Dowód niewymierności
Gdyż ta liczba może być wymierna, a dzieje się tak, gdy \(\displaystyle{ n+1}\) jest kwadratem liczby całkowitej (tj. \(\displaystyle{ n+1=k^{2}}\)). Czyli mój pomysł ma małą lukę. Potrzeba tego, że suma i różnica wymiernych jest wymierna. Czyli
zakładając nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\in \QQ}\), dochodzimy wpierw do tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \in \QQ}\), jako odwrotność liczby wymiernej i suma to jest
\(\displaystyle{ 2\sqrt{n+1}}\), a różnica pierwszej i drugiej to \(\displaystyle{ 2\sqrt{n}}\).
No i możemy się pozbyć tej dwójki, bo dla \(\displaystyle{ p}\) wymiernego liczba \(\displaystyle{ pk}\) jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ k}\) jest wymierna.
Czyli zadanie sprowadza się do tego, że kwadraty liczb naturalnych dodatnich różnią się o więcej niż \(\displaystyle{ 1.}\)
zakładając nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\in \QQ}\), dochodzimy wpierw do tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \in \QQ}\), jako odwrotność liczby wymiernej i suma to jest
\(\displaystyle{ 2\sqrt{n+1}}\), a różnica pierwszej i drugiej to \(\displaystyle{ 2\sqrt{n}}\).
No i możemy się pozbyć tej dwójki, bo dla \(\displaystyle{ p}\) wymiernego liczba \(\displaystyle{ pk}\) jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ k}\) jest wymierna.
Czyli zadanie sprowadza się do tego, że kwadraty liczb naturalnych dodatnich różnią się o więcej niż \(\displaystyle{ 1.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 7 lip 2015, o 17:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wielkopolska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 4 razy