Dowód niewymierności

[marcel0906]

Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą całkowitą dodatnią, to \(\displaystyle{ \sqrt{n}+ \sqrt{n+1}}\) jest liczbą niewymierną.

[Kartezjusz]

Załóż, że jest równa \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) co powiesz o tej samej liczbie, ale z minusem?

[Premislav]

Gdyby \(\displaystyle{ \sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\) była wymierna, to jej odwrotność, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\) też byłaby wymierna. Ponadto suma liczb wymiernych też jest wymierna. Rozwiń to w dowód nie wprost.

[marcel0906]

Zakładam, że \(\displaystyle{ 2 \sqrt{n+1}}\) jest liczbą wymierną. Poprowadzenie tego dowodu dalej podobnie jak dowodu niewymierności\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) będzie dobrym rozwiązaniem? (\(\displaystyle{ 2 \sqrt{n+1}= \frac{p}{q}}\))

[Kartezjusz]

Tak, ale osobno rozpatrujesz \(\displaystyle{ n=k^2-1}\)

[marcel0906]

Nie bardzo rozumiem dlaczego

[Premislav]

Gdyż ta liczba może być wymierna, a dzieje się tak, gdy \(\displaystyle{ n+1}\) jest kwadratem liczby całkowitej (tj. \(\displaystyle{ n+1=k^{2}}\)). Czyli mój pomysł ma małą lukę. Potrzeba tego, że suma i różnica wymiernych jest wymierna. Czyli
zakładając nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\in \QQ}\), dochodzimy wpierw do tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \in \QQ}\), jako odwrotność liczby wymiernej i suma to jest
\(\displaystyle{ 2\sqrt{n+1}}\), a różnica pierwszej i drugiej to \(\displaystyle{ 2\sqrt{n}}\).
No i możemy się pozbyć tej dwójki, bo dla \(\displaystyle{ p}\) wymiernego liczba \(\displaystyle{ pk}\) jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ k}\) jest wymierna.
Czyli zadanie sprowadza się do tego, że kwadraty liczb naturalnych dodatnich różnią się o więcej niż \(\displaystyle{ 1.}\)

[marcel0906]

Ok teraz rozumiem. Dziękuję za pomoc