Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: karolex123 »

Rozwiązać w zbiorze liczb naturalnych równanie \(\displaystyle{ 2 ^{m}-11=3 ^{n}}\).
Zrobiłem coś takiego (aczkolwiek nie wiem czy poszedłem w dobrą stronę):
\(\displaystyle{ 2 ^{m}=3 ^{n}+11}\) skąd wniosek, że liczba \(\displaystyle{ 2 ^{m}}\) daje z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) resztę \(\displaystyle{ 2}\). Czy mogę coś z tego wnioskować?
Dzięki za odpowiedzi
Satansoldier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 sty 2016, o 09:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: Satansoldier »

Można z tego wywnioskować, że m jest nieparzyste.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: karolex123 »

I właśnie nie rozumiem dlaczego. Czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: Brombal »

\(\displaystyle{ 2 ^{m}-11=3 ^{n}}\)
Dodajmy po 9 na stronę
\(\displaystyle{ 2 ^{m}-2=3 ^{n}+9}\)
wyciągnijmy co się da
\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( 2 ^{m-1}-1\right) =3 ^{2} \cdot \left( 3 ^{n-2}+1\right)}\)

jak widać \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3 ^{2}}\) względnie pierwsze
stad można ułożyć układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}-1=3 ^{2} \\3 ^{n-2}+1=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}=10 \\3 ^{n-2}=1\end{cases}}\)

n da się policzyć a m - poszło się mnożyć
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: bakala12 »

Brombal, sorki, ale nie mogę przejść obojętnie obok takiego blefa. Stwierdziłeś, że z równości \(\displaystyle{ ab=cd}\) i z tego, że \(\displaystyle{ NWD\left(a,c\right)=1}\) wynika, że \(\displaystyle{ a=d}\) i \(\displaystyle{ b=c}\). To nie jest prawda w ogólności. Żeby to była prawda potrzeba jeszcze żeby \(\displaystyle{ NWD\left(b,d\right)=1}\). A tego, że liczby \(\displaystyle{ 2^{m-1}-1}\) i \(\displaystyle{ 3^{n-2}+1}\) są względnie pierwsze nie pokazałeś (i nie pokazuj, bo to nieprawda ).
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: bosa_Nike »

karolex123 pisze:I właśnie nie rozumiem dlaczego. Czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?
Bo gdyby było parzyste, to w postaci \(\displaystyle{ 2^m}\) mielibyśmy kwadrat liczby naturalnej - sprzeczność \(\displaystyle{ \mod 3}\).

Jak zostawisz po lewej osiem, to będziesz miał, że \(\displaystyle{ 8|\left(3^{n-1}+1\right)}\).
Teraz załóż, że znalazłeś najmniejsze takie \(\displaystyle{ n}\), że to zachodzi i zobacz, że wobec tego musi być także \(\displaystyle{ 8|\left(3^{n-1}+1+8\right)}\).
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: Brombal »

bakala12 pisze:Brombal, sorki, ale nie mogę przejść obojętnie obok takiego blefa. Stwierdziłeś, że z równości \(\displaystyle{ ab=cd}\) i z tego, że \(\displaystyle{ NWD\left(a,c\right)=1}\) wynika, że \(\displaystyle{ a=d}\) i \(\displaystyle{ b=c}\). To nie jest prawda w ogólności. Żeby to była prawda potrzeba jeszcze żeby \(\displaystyle{ NWD\left(b,d\right)=1}\). A tego, że liczby \(\displaystyle{ 2^{m-1}-1}\) i \(\displaystyle{ 3^{n-2}+1}\) są względnie pierwsze nie pokazałeś (i nie pokazuj, bo to nieprawda ).
Oj tam oj tam

ale za to można wyciągnąć wniosek, ze obie strony dzielą się przez 11 ...

P.S. Wiedziałem, że to Ty wyłapiesz...

-- 3 lut 2016, o 13:50 --

Zacznę jeszcze raz

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}-1=3 ^{2} \cdot k\\3 ^{n-2}+1=2 \cdot k\end{cases}}\)

Teraz może być?
Patrząc na równanie

\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( 2 ^{m-1}-1\right) =3 ^{2} \cdot \left( 3 ^{n-2}+1\right)}\)

widzimy że

\(\displaystyle{ \left( 2 ^{m-1}-1\right) >\left( 3 ^{n-2}+1\right)}\)

Sumujemy stronami układ równań i otrzymujemy

\(\displaystyle{ 2 ^{m-1} +3 ^{n-2} =11 \cdot k}\)

dalej
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{m-1} +3 ^{n-2}}{11} = k}\)

Jak widać k podzielne przez 11 \(\displaystyle{ NWD\left( k,11\right) =11}\)

Możemy również odjąć stronami (od większego mniejszy) i uzyskamy

\(\displaystyle{ \frac{2 ^{m-1} - 3 ^{n-2}-2}{7} = k}\)

Jak widać k podzielne przez 7 \(\displaystyle{ NWD\left( k,7\right) =7}\)

Przedstawmy więc sobie k jako

\(\displaystyle{ 77 \cdot k _{1} =k}\)

układ równań przyjmie postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}-1=693 \cdot k _{1} \\3 ^{n-2}+1=154 \cdot k _{1} \end{cases}}\)

Dodajemy i odejmujemy stronami zmieniamy \(\displaystyle{ k}\) na \(\displaystyle{ k _{n}}\)

i uzyskujemy \(\displaystyle{ k _{n}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11 ^{n}}\) i \(\displaystyle{ 7 ^{n}}\) - a \(\displaystyle{ n}\)-owi temu nie będzie końca ...
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: karolex123 »

I wtedy \(\displaystyle{ 8|3 ^{n-3}+1}\) tak? Czy z tego już wynika sprzeczność?
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: Brombal »

Dodam jeszcze, że obie strony dzielą się przez 5
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Równanie wykładnicze (diofantyczne)

Post autor: bakala12 »

Brombal, znowu coś namieszałeś
dalej
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{m-1} +3 ^{n-2}}{11} = k}\)

Jak widać \(\displaystyle{ k}\) podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\). \(\displaystyle{ NWD\left( k,11\right) =11}\)
No jak? Nic - zupełnie nic - nam to nie mówi o podzielności \(\displaystyle{ k}\) przez \(\displaystyle{ 11}\). Ten wniosek jest niepoprawny. Na przykład biorąc \(\displaystyle{ m=2}\) i \(\displaystyle{ n=4}\) mamy \(\displaystyle{ k=1}\), które nijak przez \(\displaystyle{ 11}\) się nie dzieli. Ta sama uwaga do wniosku o podzielności przez \(\displaystyle{ 7}\), znów nieprawda. Tak więc znów jest źle, ale teraz błąd jest dużo bardziej rażący niż wcześniej Ale nie przejmuj się, spróbuj jeszcze raz
ODPOWIEDZ