Równanie wykładnicze (diofantyczne)
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Równanie wykładnicze (diofantyczne)
Rozwiązać w zbiorze liczb naturalnych równanie \(\displaystyle{ 2 ^{m}-11=3 ^{n}}\).
Zrobiłem coś takiego (aczkolwiek nie wiem czy poszedłem w dobrą stronę):
\(\displaystyle{ 2 ^{m}=3 ^{n}+11}\) skąd wniosek, że liczba \(\displaystyle{ 2 ^{m}}\) daje z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) resztę \(\displaystyle{ 2}\). Czy mogę coś z tego wnioskować?
Dzięki za odpowiedzi
Zrobiłem coś takiego (aczkolwiek nie wiem czy poszedłem w dobrą stronę):
\(\displaystyle{ 2 ^{m}=3 ^{n}+11}\) skąd wniosek, że liczba \(\displaystyle{ 2 ^{m}}\) daje z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) resztę \(\displaystyle{ 2}\). Czy mogę coś z tego wnioskować?
Dzięki za odpowiedzi
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 9 sty 2016, o 09:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 2 razy
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Równanie wykładnicze (diofantyczne)
I właśnie nie rozumiem dlaczego. Czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?
-
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Równanie wykładnicze (diofantyczne)
\(\displaystyle{ 2 ^{m}-11=3 ^{n}}\)
Dodajmy po 9 na stronę
\(\displaystyle{ 2 ^{m}-2=3 ^{n}+9}\)
wyciągnijmy co się da
\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( 2 ^{m-1}-1\right) =3 ^{2} \cdot \left( 3 ^{n-2}+1\right)}\)
jak widać \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3 ^{2}}\) względnie pierwsze
stad można ułożyć układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}-1=3 ^{2} \\3 ^{n-2}+1=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}=10 \\3 ^{n-2}=1\end{cases}}\)
n da się policzyć a m - poszło się mnożyć
Dodajmy po 9 na stronę
\(\displaystyle{ 2 ^{m}-2=3 ^{n}+9}\)
wyciągnijmy co się da
\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( 2 ^{m-1}-1\right) =3 ^{2} \cdot \left( 3 ^{n-2}+1\right)}\)
jak widać \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3 ^{2}}\) względnie pierwsze
stad można ułożyć układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}-1=3 ^{2} \\3 ^{n-2}+1=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}=10 \\3 ^{n-2}=1\end{cases}}\)
n da się policzyć a m - poszło się mnożyć
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Równanie wykładnicze (diofantyczne)
Brombal, sorki, ale nie mogę przejść obojętnie obok takiego blefa. Stwierdziłeś, że z równości \(\displaystyle{ ab=cd}\) i z tego, że \(\displaystyle{ NWD\left(a,c\right)=1}\) wynika, że \(\displaystyle{ a=d}\) i \(\displaystyle{ b=c}\). To nie jest prawda w ogólności. Żeby to była prawda potrzeba jeszcze żeby \(\displaystyle{ NWD\left(b,d\right)=1}\). A tego, że liczby \(\displaystyle{ 2^{m-1}-1}\) i \(\displaystyle{ 3^{n-2}+1}\) są względnie pierwsze nie pokazałeś (i nie pokazuj, bo to nieprawda ).
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
Równanie wykładnicze (diofantyczne)
Bo gdyby było parzyste, to w postaci \(\displaystyle{ 2^m}\) mielibyśmy kwadrat liczby naturalnej - sprzeczność \(\displaystyle{ \mod 3}\).karolex123 pisze:I właśnie nie rozumiem dlaczego. Czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?
Jak zostawisz po lewej osiem, to będziesz miał, że \(\displaystyle{ 8|\left(3^{n-1}+1\right)}\).
Teraz załóż, że znalazłeś najmniejsze takie \(\displaystyle{ n}\), że to zachodzi i zobacz, że wobec tego musi być także \(\displaystyle{ 8|\left(3^{n-1}+1+8\right)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Równanie wykładnicze (diofantyczne)
Oj tam oj tambakala12 pisze:Brombal, sorki, ale nie mogę przejść obojętnie obok takiego blefa. Stwierdziłeś, że z równości \(\displaystyle{ ab=cd}\) i z tego, że \(\displaystyle{ NWD\left(a,c\right)=1}\) wynika, że \(\displaystyle{ a=d}\) i \(\displaystyle{ b=c}\). To nie jest prawda w ogólności. Żeby to była prawda potrzeba jeszcze żeby \(\displaystyle{ NWD\left(b,d\right)=1}\). A tego, że liczby \(\displaystyle{ 2^{m-1}-1}\) i \(\displaystyle{ 3^{n-2}+1}\) są względnie pierwsze nie pokazałeś (i nie pokazuj, bo to nieprawda ).
ale za to można wyciągnąć wniosek, ze obie strony dzielą się przez 11 ...
P.S. Wiedziałem, że to Ty wyłapiesz...
-- 3 lut 2016, o 13:50 --
Zacznę jeszcze raz
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}-1=3 ^{2} \cdot k\\3 ^{n-2}+1=2 \cdot k\end{cases}}\)
Teraz może być?
Patrząc na równanie
\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( 2 ^{m-1}-1\right) =3 ^{2} \cdot \left( 3 ^{n-2}+1\right)}\)
widzimy że
\(\displaystyle{ \left( 2 ^{m-1}-1\right) >\left( 3 ^{n-2}+1\right)}\)
Sumujemy stronami układ równań i otrzymujemy
\(\displaystyle{ 2 ^{m-1} +3 ^{n-2} =11 \cdot k}\)
dalej
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{m-1} +3 ^{n-2}}{11} = k}\)
Jak widać k podzielne przez 11 \(\displaystyle{ NWD\left( k,11\right) =11}\)
Możemy również odjąć stronami (od większego mniejszy) i uzyskamy
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{m-1} - 3 ^{n-2}-2}{7} = k}\)
Jak widać k podzielne przez 7 \(\displaystyle{ NWD\left( k,7\right) =7}\)
Przedstawmy więc sobie k jako
\(\displaystyle{ 77 \cdot k _{1} =k}\)
układ równań przyjmie postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{m-1}-1=693 \cdot k _{1} \\3 ^{n-2}+1=154 \cdot k _{1} \end{cases}}\)
Dodajemy i odejmujemy stronami zmieniamy \(\displaystyle{ k}\) na \(\displaystyle{ k _{n}}\)
i uzyskujemy \(\displaystyle{ k _{n}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11 ^{n}}\) i \(\displaystyle{ 7 ^{n}}\) - a \(\displaystyle{ n}\)-owi temu nie będzie końca ...
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Równanie wykładnicze (diofantyczne)
I wtedy \(\displaystyle{ 8|3 ^{n-3}+1}\) tak? Czy z tego już wynika sprzeczność?
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Równanie wykładnicze (diofantyczne)
Brombal, znowu coś namieszałeś
No jak? Nic - zupełnie nic - nam to nie mówi o podzielności \(\displaystyle{ k}\) przez \(\displaystyle{ 11}\). Ten wniosek jest niepoprawny. Na przykład biorąc \(\displaystyle{ m=2}\) i \(\displaystyle{ n=4}\) mamy \(\displaystyle{ k=1}\), które nijak przez \(\displaystyle{ 11}\) się nie dzieli. Ta sama uwaga do wniosku o podzielności przez \(\displaystyle{ 7}\), znów nieprawda. Tak więc znów jest źle, ale teraz błąd jest dużo bardziej rażący niż wcześniej Ale nie przejmuj się, spróbuj jeszcze razdalej
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{m-1} +3 ^{n-2}}{11} = k}\)
Jak widać \(\displaystyle{ k}\) podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\). \(\displaystyle{ NWD\left( k,11\right) =11}\)