Wielomiany i liczba pierwsza

[mol_ksiazkowy]

Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(x)= x^5+5x^4 +5x^3 +5x^2 +1\\ g(x)= x^5+5x^4 +3x^3 -5x^2 - 1 \end{cases}}\)
Wyznaczyć takie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) dla których istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ m <p}\) i taka że \(\displaystyle{ f(m)}\) i \(\displaystyle{ g(m)}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\).

[Zahion]

Odejmując stronami 1) od 2) mamy, że \(\displaystyle{ p | 2\left( m^{3}+5m^{2}+1\right)}\), dla \(\displaystyle{ p = 2}\) nie istnieje taka liczba \(\displaystyle{ m}\), więc \(\displaystyle{ p > 2}\), stąd \(\displaystyle{ p | m^{3} +5m^{2} + 1}\) i z pierwszej równości mamy, że \(\displaystyle{ p | m^{5} + 5m^{4} + 4m^{3} = m^{3}\left( m+1\right)\left( m+4\right)}\), ale \(\displaystyle{ m < p}\) więc \(\displaystyle{ p | m + 1, p | m + 4}\) (jeżeli chodzi o część wspólną jedynie dla \(\displaystyle{ m = 2}\) mamy \(\displaystyle{ p = 3}\), ale nie działa ).
1) \(\displaystyle{ p | m + 1}\) Mamy - \(\displaystyle{ p | m^{2}\left( m+1\right) + 4\left( m+1\right)^{2} - 3\left( m+1\right) -5m}\), stąd \(\displaystyle{ p | 5m}\) i \(\displaystyle{ m < p}\), więc \(\displaystyle{ p = 5}\), co się sprawdza dla \(\displaystyle{ m = 4}\).
2) \(\displaystyle{ p | m + 4}\) mamy \(\displaystyle{ p | m^{2}\left( m+4\right) +\left( m+4\right)^{2} - 8\left( m+4\right) + 17}\), stąd \(\displaystyle{ p = 17}\), a dla \(\displaystyle{ m = 13}\) dziala.