Nieskończenie wiele liczb pierwszych

[Eleonore]

Wykaż że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\)
Mam tak:
Niech \(\displaystyle{ A= \left\{ p \in \mathbb{P} : \; p=6k+1 \right\}}\). Przypuśćmy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończony, tzn \(\displaystyle{ A= \left\{ p_1 , p_2, \ldots , p_k \right\}}\). Niech \(\displaystyle{ M=6 p_1 p_2, \ldots p_k+1}\). Wtedy \(\displaystyle{ M}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ M>1}\), to istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q}\) taka, że \(\displaystyle{ q|M}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ M}\) ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\).Przypuśćmy, że tak nie jest, czyli każdy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ M}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\) (bo \(\displaystyle{ 6k}\),\(\displaystyle{ 6k+2}\),\(\displaystyle{ 6k+3}\),\(\displaystyle{ 6k+4}\) odpadają, bo są złożone). Z rozkadu na czynniki pierwsze mamy, że \(\displaystyle{ M= q_1 q_2 \ldots q_s}\) gdzie dla każdy \(\displaystyle{ q_i}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\). Ponieważ każdy \(\displaystyle{ q_i}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\), to \(\displaystyle{ M= q_1 q_2 \ldots q_s}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\), sprzeczność bo \(\displaystyle{ M}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\). Zatem istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q}\) postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\) i \(\displaystyle{ q|M}\). Stąd istnieje \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1, \ldots ,k\right\}}\) takie, że \(\displaystyle{ q=p_i}\) ale \(\displaystyle{ q|M}\), czyli\(\displaystyle{ p_i |M}\), ale \(\displaystyle{ p_i |M=6 p_1 p_2, \ldots p_k+1}\) i \(\displaystyle{ p_i |6 p_1 p_2, \ldots p_k}\), sprzeczność. Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony. Dobrze?

[Premislav]

Czemu pokazujesz co innego niż teza? Powinnaś raczej celować w \(\displaystyle{ p=6k+5}\), chyba że nieprawidłową tezę napisałaś.
No i tak poza tym: czy to

Ponieważ każdy \(\displaystyle{ q_i}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\), to \(\displaystyle{ M= q_1 q_2 \ldots q_s}\) jest postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\)

na pewno jest prawdą?
Weźmy liczbę \(\displaystyle{ a=5\cdot 11 \cdot 17\cdot 23}\). Każdy jej dzielnik pierwszy jest postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\), tymczasem \(\displaystyle{ a\equiv (-1)^{4}\pmod{6}}\). Choć może nie widzę jakiegoś elementu rozumowania, który by powodował, że ten kontrprzykład jest kompletnie nieadekwatny - nie czuję się bowiem najmocniejszy w teorii liczb.

[bakala12]

Premislav, brawa za czujność. Wykryłeś oczywistego blefa. Z tego, że wszystkie \(\displaystyle{ q_{i}}\) są postaci \(\displaystyle{ 6k-1}\) w żaden sposób nie wynika, że ich iloczyn jest tej postaci, bo może być też postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ s}\) parzystego). Zatem dowód jest niepoprawny.