Udowodnij, że liczba jest całkowita - błąd w zadaniu?

[shooktea]

Na początek witam, to mój pierwszy post tutaj. Mam nadzieję, że zostanę tu na dłużej

Dostaję co jakiś czas parę zadań do zrobienia pod maturę rozszerzoną. Ostatnio dostałem zadania z dowodzenia, którego nie znoszę/uwielbiam w zależności od mojego zmiennego nastroju Miałem tam następujące zadanie:

Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{14-6\sqrt{5}}+\sqrt{14+6\sqrt{5}}}\) jest całkowita.

Banał, wystarczy podstawić całość jako \(\displaystyle{ x}\) i liczyć \(\displaystyle{ x^{2}}\). Problem pojawia się później:
\(\displaystyle{ x^{2}=28+2\sqrt{16}}\)

Zakładając, że \(\displaystyle{ \sqrt{16}=4}\), wychodzi ładnie \(\displaystyle{ x^{2}=36}\) i \(\displaystyle{ x \in \left\{ 6; -6\right\} \subset \mathbb{C}}\).

Ale przecież \(\displaystyle{ \sqrt{16}}\) jest też równy -4. W takim wypadku \(\displaystyle{ x^{2}=20}\) i dowodu nie ma.


Przypominam, że to poziom rozszerzony - gdyby zdający zrobił tego rodzaju błąd i nie uwzględnił dwóch rozwiązań pierwiastka stopnia parzystego, straciłby punkty. Jasne, że jest tu drobny błąd, ale co zrobić, jeśli coś takiego pojawi się na maturze? Zignorować go i wykonać zadanie ("Udowodnij, że liczba ... jest całkowita"), czy rozpisać w całości i udowodnić, że nie jest?

[Premislav]

Ale przecież \(\displaystyle{ \sqrt{16}}\) jest też równy \(\displaystyle{ -4}\)

Nie. To oznaczenie \(\displaystyle{ \sqrt{}}\) odpowiada pierwiastkowi arytmetycznemu, który dla pierwiastków stopnia parzystego określamy tylko dla liczb nieujemnych i wtedy jest on liczbą nieujemną - z pewnych względów wygodne jest to, by był on funkcją. To, co Ty wymieniasz, to pierwiastki algebraiczne (które jeszcze się pojawią, jeśli pójdziesz na studia ścisłe) - tj. rozwiązania równania \(\displaystyle{ x^{2}=16}\). Po prostu tak się definiuje i już.

W związku z tym wyjściowe wyrażenie jest nieujemne jako suma pierwiastków kwadratowych, więc wbrew temu, co piszesz, nie może to być \(\displaystyle{ -6}\).
BTW inny sposób: \(\displaystyle{ 14+6\sqrt{5}=(3+\sqrt{5})^{2}}\), jak też \(\displaystyle{ 14-6\sqrt{5}=(3-\sqrt{5})^{2}}\).

[shooktea]

Czyli bez względu na to, którego z dwóch sposobów bym użył, byłoby błędnie, bo w jednym piszę, że nie jest całkowita, a w drugim, że może być równa 6 i -6?

[Premislav]

Nie, sama idea z napisaniem
\(\displaystyle{ \sqrt{14-6\sqrt{5}}+\sqrt{14+6\sqrt{5}}=x}\), podnoszeniem do kwadratu etc.
jest dobra, tylko najwyraźniej nie znałeś definicji pierwiastka arytmetycznego - nic strasznego.
Możesz np. tu zerknąć:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Pierwiastkowanie

Po prostu wbrew temu, co napisałeś, nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \sqrt{16}}\) jest równy \(\displaystyle{ -4}\) i tak samo dalej ta liczba z zadania nie może być równa \(\displaystyle{ -6}\), bo jest sumą pierwiastków arytmetycznych drugiego (a więc parzystego) stopnia, a pierwiastki te z definicji są nieujemne
- poza tymi rzeczami przekształcenia są OK.

[shooktea]

Dziękuję za pomoc

Gdybym napisał na egzaminie wynik \(\displaystyle{ -6}\), to dostałbym opiernicz punktowy?

[Premislav]

Prawie na pewno tak.