Udowodnić, że liczba naturalna.

[Kuber19]

Witam, Jedno z zadan z poprzednich edycji konkursu, z którym nie wiem jak sobie poradzic.
Liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\) ma \(\displaystyle{ 2n}\) cyfr przy czym pierwsze \(\displaystyle{ n}\) cyfr to same czwórki a pozostałe cyfry to ósemki . Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{a+1}}\) jest liczbą naturalna dla każdego \(\displaystyle{ n}\). Jak się rozwiązuje tego typu zadania. Jest jakiś schemat pomocniczy? Pierwszy raz sie stykam z takim czyms.

[AndrzejK]

Innymi słowy musisz wykazać, że liczba:

\(\displaystyle{ a+1=\underbrace{44...4}_{n} \underbrace{88...8}_{n-1}9}\)

jest kwadratem liczby całkowitej. Spróbuj ją zapisać w postaci odpowiednich potęg, np.: \(\displaystyle{ \underbrace{66...6}_{n}=\frac{6}{9} \cdot (10^n-1)}\)

[Kuber19]

A czy taki dowód byłby uznany? Sumuje cyfry liczby\(\displaystyle{ a+1}\) i wychodzi \(\displaystyle{ 4n+8n +1}\) , przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) kwadrat liczby całkowitej daje reszte \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) z twierdzenia. Reszta z dzielenia sumy cyfr przez \(\displaystyle{ 3}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\) no bo \(\displaystyle{ 4n/3}\) daje reszte \(\displaystyle{ 1}\) \(\displaystyle{ 8n}\) daje reszte \(\displaystyle{ 2}\)no i jeszcze \(\displaystyle{ +1}\) czyli reszta z reszty to \(\displaystyle{ 1}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) że \(\displaystyle{ a+1}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) ponieważ przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje reszte \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt{a+1}}\) jest naturalna. Co w moim myśleniu jest źle?

[Premislav]

\(\displaystyle{ a+1}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) ponieważ przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje reszte \(\displaystyle{ 1}\)

Hę? Czyżby jakieś niedopowiedzenie? Bo to rozumowanie samo w sobie na pewno do niczego nie prowadzi, np. liczba \(\displaystyle{ 7}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) i co z tego?
Zauważ też, że bardzo osłabiasz stan informacji, o jakie możesz oprzeć dowód, bo to, że liczby mają tę samą sumę cyfr, nie znaczy, że są równe. Gdybyś w liczbie \(\displaystyle{ a}\) przestawił pierwszą cyfrę z ostatnią, zamieniając ją na liczbę \(\displaystyle{ a'}\), to suma cyfr by się w żaden sposób nie zmieniła, a tak nie bardzo \(\displaystyle{ a'+1}\) będzie kwadratem...

[Kuber19]

Ok rozumiem, czyli muszę jeszcze pomyśleć nad tym.

[ldurniat]

Warto przyjrzeć się kolejnym liczbom dla kolejnych wartości \(\displaystyle{ n.}\) Dla \(\displaystyle{ n=1,2,3}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \begin{array}{rcl}
7^2\!\!\!&=&\!\!\!48+1,\\\\
67^2\!\!\!&=&\!\!\!4488+1,\\\\
667^2\!\!\!&=&\!\!\!444888+1.
\end{array}}\)

Stąd przypuszczenie, że \(\displaystyle{ (\underbrace{6\ldots 67}_{n})^2=\underbrace{4\ldots 4}_{n}\underbrace{8\ldots 8}_{n}+1}\). Równość można dowieść indukcyjnie. Proponuję takie podejście. W kroku indukcyjnym rozpisać lewą stronę równości powyżej jako

\(\displaystyle{ (\underbrace{6\ldots 67}_{n+1})^2=(\underbrace{60\ldots 0}_{n+1}+\underbrace{6\ldots 67}_{n})^2}\)

A następnie wystarczy uważnie liczyć aż otrzymamy żądany wynik:)

[Kuber19]

Ja to rozpisałem tak \(\displaystyle{ a+1= \frac{4}{9} \cdot 10^{2n}- \frac{4}{9} +\frac{4}{9} \cdot 10^n-\frac{4}{9}+1}\) i po przekształceniu wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{4}{9} \cdot \left( 10^{2n}+10^n+\frac{1}{4} \right)}\) i to sie zwija w kwadrat \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{9} \right) ^2 \cdot \left( 10^n+\frac{1}{2} \right) ^2}\) może być tak?

[ldurniat]

Ja to rozpisałem tak \(\displaystyle{ a+1= \frac{4}{9} \cdot 10^{2n}- \frac{4}{9} +\frac{4}{9} \cdot 10^n-\frac{4}{9}+1}\)

Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ a+1=\left[\frac{6}{9}\left(10^n-1\right)+1\right]^2}\)?
Wiedząc, że zachodzi taka równość zadanie jest rozwiązane:)

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{9} \right) ^2 \cdot \left( 10^n+\frac{1}{2} \right) ^2}\)

Powinno być \(\displaystyle{ \left(\frac{2}{3}\right)^2\left(10^n+\frac{1}{2}\right)^2.}\)

[Kuber19]

tak literówka, rozpisuje to tak, że np. \(\displaystyle{ 33 = \frac{1}{3} \cdot 10^2-\frac{1}{3}}\)

[ldurniat]

tak literówka, rozpisuje to tak, że np. \(\displaystyle{ 33 = \frac{1}{3} *10^2-\frac{1}{3}}\)

Co z tego wynika?

[Kuber19]

jeśli zastąpie to \(\displaystyle{ 10^2}\) na \(\displaystyle{ 10^n}\) to mogę zapisać tą \(\displaystyle{ 2n-cyfrowa liczbe +1}\)
W przystępniejszy sposób, co mi dużo daje.

[AndrzejK]

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{9} \right) ^2 \cdot \left( 10^n+\frac{1}{2} \right) ^2}\) może być tak?

Nie może, bo co tym w zasadzie udowodniłeś? Obie liczby w nawiasach nie są całkowite, a masz udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ a+1}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Proponuję zwinąć do jednego nawiasu:

\(\displaystyle{ \left( \frac{2 \cdot 10^n+1}{3}\right)^2}\)

I teraz prosta zabawa podzielnością. Liczba postaci \(\displaystyle{ 2 \cdot 10^n+1}\) wygląda tak: \(\displaystyle{ 200...0001}\), a więc na pewno jest podzielna przez trójkę (bo suma jej cyfr jest równa trzy). Stąd liczba w nawiasie jest naturalna i dowód jest zakończony.

[Kuber19]

Tak nastepny dowód już zrobiłem dobrze i napisałem komentarz Dzięki