Liczby pierwsze

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Eleonore
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 10 paź 2015, o 12:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Miasto_R
Podziękował: 1 raz

Liczby pierwsze

Post autor: Eleonore »

Wykaż że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\)
Mam tak:
Niech \(\displaystyle{ A= \left\{ p \in \mathbb{P} : \; p=3k+2 \right\}}\). Przypuśćmy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończony, tzn \(\displaystyle{ A= \left\{ p_1 , p_2, \ldots , p_k \right\}}\). Niech \(\displaystyle{ M=3 p_1 p_2, \ldots p_k+2}\). Wtedy \(\displaystyle{ M}\) jest postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ M>1}\), to istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q}\) taka, że \(\displaystyle{ q|M}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ M}\) ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\).Przypuśćmy, że tak nie jest, czyli każdy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ M}\) jest postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\). Z rozkadu na czynniki pierwsze mamy, że \(\displaystyle{ M= q_1 q_2 \ldots q_s}\) gdzie dla każdy \(\displaystyle{ q_i}\) jest postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\). Ponieważ każdy \(\displaystyle{ q_i}\) jest postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\), to \(\displaystyle{ M= q_1 q_2 \ldots q_s}\) jest postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\), sprzeczność bo \(\displaystyle{ M}\) jest postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\). Zatem istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q}\) postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\) i \(\displaystyle{ q|M}\). Stąd istnieje \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1, \ldots ,k\right\}}\) takie, że \(\displaystyle{ q=p_i}\) ale \(\displaystyle{ q|M}\), czyli\(\displaystyle{ p_i |M}\), ale \(\displaystyle{ p_i |M=3 p_1 p_2, \ldots p_k+2}\) i \(\displaystyle{ p_i |3 p_1 p_2, \ldots p_k}\), sprzeczność. Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony. Mam problem, bo sprzeczności nie uzyskamy gdy \(\displaystyle{ p_i=2}\), ale ten dowód działa w przypadku liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k-1}\) i \(\displaystyle{ 6k-1}\). A chciałabym go zrobić tym sposobem. Proszę o pomoc.
Asapi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 23 wrz 2014, o 14:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łańcut
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 5 razy

Liczby pierwsze

Post autor: Asapi »

Może coś takiego
BSO niech \(\displaystyle{ p_{1}=2}\)
zdefiniujmy
\(\displaystyle{ K=3p_{2}p_{3}...p{k}+2}\)
oczywiście \(\displaystyle{ K>2p_{2}p_{3}...p{k}}\), a więc większe od każdej z liczb z \(\displaystyle{ A}\)
Powtarzając twoje rozumowanie dochodzimy znowu do sprzeczności, ale tym razem żadne z \(\displaystyle{ p_{i}}\) nie może być równe dwa, więc mamy liczbę postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\) większą od każdej z liczb z \(\displaystyle{ A}\) i niepodzielną przez żadną z nich a więc pierwszą, czyli dostajemy, że \(\displaystyle{ K}\) jest pierwsza
Eleonore
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 10 paź 2015, o 12:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Miasto_R
Podziękował: 1 raz

Liczby pierwsze

Post autor: Eleonore »

Można wziąć \(\displaystyle{ M=3 p_1 p_2, \ldots p_k-1}\)? Bo wtedy wyjdzie
ODPOWIEDZ